高等数学归档 - 第13页共122页 - 荒原之梦

复合运算对单调性和奇偶性的影响

一、前言

在《快速判断函数奇偶性的方式汇总》这篇笔记中，我们涉及了复合运算对函数奇偶性的影响。在本文，荒原之梦考研数学将只从复合运算的角度，总结复合运算对单调性和奇偶性的影响，以供同学们参考。

利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分

一、题目

荒原之梦考研数学

$I$ $=$ $\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1}$ $(2 x + 3 y)^{2}$ $d σ$ $=$ $?$

难度评级：

这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解”

一、题目

荒原之梦考研数学

函数 $f (x)$ $=$ $| x \sin x | e^{\cos x}$ , $x \in (- \infty, + \infty)$ , 是 ( )

A. 单调函数

C. 有界函数

B. 周期函数

D. 偶函数

难度评级：

绝对值的运算性质汇总

一、前言

在考研高等数学中，我们经常会用到绝对值并进行相关的运算，在本文中，荒原之梦考研数学就给大家汇总了考研数学中常用的绝对值相关运算，希望能对大家有所帮助哦。

你会用“逆向洛必达运算”解题吗？

一、题目

荒原之梦考研数学

已知函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内二阶连续可导，且：

$I = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - f (x)} - 1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x - t) d t} = - 1$

则一下选项中，正确的是哪个？

(A) $x = 0$ 为 $f (x)$ 的极小值点

(B) $x = 0$ 为 $f (x)$ 的极大值点

(C) $x = 0$ 不是 $f (x)$ 的极值点， $(0, f (0))$ 也不是曲线 $y = f (x)$ 的拐点

(D) $(0, f (0))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的拐点

难度评级：

通过全微分确定二元函数的非条件极值

一、题目

荒原之梦考研数学

已知函数 $z = f (x, y)$ 的全微分 $d z$ $=$ $(a y - x^{2}) d x$ $+$ $(a x - y^{2}) d y$ , $(a > 0)$ 则函数 $f (x, y)$

(A) 无极值点

(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点

(C) 点 $(a, a)$ 为极大值点

(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关

难度评级：

本题的难点在于从题目给出的全微分式子中确定一阶偏导函数的表达式。

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变上限积分一定可导吗？

一、题目

荒原之梦考研数学

设 $f (x)$ $=$ $lim_{n \to \infty} \frac{- x + x e^{n x}}{1 + e^{n x}}$ , 则 $F (x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f (t) d t$ 是（）

(A) 可导的偶函数

(C) 连续但不可导的偶函数

(B) 可导的奇函数

(D) 连续但不可导的奇函数

难度评级：

证明：导函数连续则原函数一定可导

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算

一、题目

荒原之梦考研数学

$f (u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：

$g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$

$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$

(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;

(2)若 $\frac{\partial f (u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u e^{- u}$ , $f (0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$ , 求 $f (u, v)$ .

难度评级：

2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值

一、题目

荒原之梦考研数学

设 $t > 0$ , 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{- x}$ 与直线 $x = t$ , $x = 2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V (t)$ , 求 $V (t)$ 的最大值.

难度评级：

2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算

一、题目

荒原之梦考研数学

设 $y = y (x)$ 满足方程 $x^{2} y^{''} - x y^{'} - 9 y = 0$ , 且 ${y |}_{x = 1} = 2$ , ${y^{'} |}_{x = 1} = 6$ .

(1) 利用 $x = e^{t}$ 化简方程, 并求 $y (x)$ 的表达式;
(2) 求 $\int_{1}^{2} y (x) \sqrt{4 - x^{2}} d x$ .

难度评级：

复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去

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不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。

题目一

荒原之梦考研数学

已知 $z = {(x + e^{y})}^{x}$ , 则：

${\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 0)} = ?$

难度评级：

2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性

一、题目

荒原之梦考研数学

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y = \frac{1}{3}$ , $x y = 3$ 与直线 $y = \frac{1}{3} x$ , $y = 3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D} (1 + x - y) d x d y$ $=$ $?$

难度评级：

2024年考研数二第15题解析：定积分的物理应用

一、题目

荒原之梦考研数学

某物体以速度 $v (t)$ $=$ $t + k \sin π t$ 做直线运动, 若它是从 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的时间段内平均速度为 $\frac{5}{2}$ , 则 $k = ?$

难度评级：

2024年考研数二第13题解析：代换法解可分离变量的一阶微分方程

一、题目

荒原之梦考研数学

微分方程 $y^{'}$ $=$ $\frac{1}{(x + y)^{2}}$ 满足条件 $y (1) = 0$ 的解为（）

难度评级：