高等数学归档 - 第13页共122页

这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解”

一、题目

函数 $f (x)$ $=$ $| x \sin x | e^{\cos x}$ , $x \in (- \infty, + \infty)$ , 是 ( )

A. 单调函数

C. 有界函数

B. 周期函数

D. 偶函数

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绝对值的运算性质汇总

一、前言

在考研高等数学中，我们经常会用到绝对值并进行相关的运算，在本文中，荒原之梦考研数学就给大家汇总了考研数学中常用的绝对值相关运算，希望能对大家有所帮助哦。

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你会用“逆向洛必达运算”解题吗？

一、题目

已知函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某邻域内二阶连续可导，且：

$I = lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - f (x)} - 1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x - t) d t} = - 1$

则一下选项中，正确的是哪个？

(A) $x = 0$ 为 $f (x)$ 的极小值点

(B) $x = 0$ 为 $f (x)$ 的极大值点

(D) $(0, f (0))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的拐点

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通过全微分确定二元函数的非条件极值

一、题目

已知函数 $z = f (x, y)$ 的全微分 $d z$ $=$ $(a y - x^{2}) d x$ $+$ $(a x - y^{2}) d y$ , $(a > 0)$ 则函数 $f (x, y)$

(A) 无极值点

(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点

(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关

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本题的难点在于从题目给出的全微分式子中确定一阶偏导函数的表达式。

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变上限积分一定可导吗？

一、题目

设 $f (x)$ $=$ $lim_{n \to \infty} \frac{- x + x e^{n x}}{1 + e^{n x}}$ , 则 $F (x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f (t) d t$ 是（）

(A) 可导的偶函数

(B) 可导的奇函数

(D) 连续但不可导的奇函数

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证明：导函数连续则原函数一定可导

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

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2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算

一、题目

$f (u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：

$g (x, y)$ $=$ $f (2 x + y, 3 x - y)$

$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$

(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;

(2)若 $\frac{\partial f (u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u e^{- u}$ , $f (0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$ , 求 $f (u, v)$ .

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2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值

一、题目

设 $t > 0$ , 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{- x}$ 与直线 $x = t$ , $x = 2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V (t)$ , 求 $V (t)$ 的最大值.

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2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算

一、题目

设 $y = y (x)$ 满足方程 $x^{2} y^{''} - x y^{'} - 9 y = 0$ , 且 ${y |}_{x = 1} = 2$ , ${y^{'} |}_{x = 1} = 6$ .

(1) 利用 $x = e^{t}$ 化简方程, 并求 $y (x)$ 的表达式;
(2) 求 $\int_{1}^{2} y (x) \sqrt{4 - x^{2}} d x$ .

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复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去

不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。

题目一

已知 $z = {(x + e^{y})}^{x}$ , 则：

${\frac{\partial z}{\partial x} |}_{(1, 0)} = ?$

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2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性

一、题目

设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y = \frac{1}{3}$ , $x y = 3$ 与直线 $y = \frac{1}{3} x$ , $y = 3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D} (1 + x - y) d x d y$ $=$ $?$

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2024年考研数二第15题解析：定积分的物理应用

一、题目

某物体以速度 $v (t)$ $=$ $t + k \sin π t$ 做直线运动, 若它是从 $t = 0$ 到 $t = 3$ 的时间段内平均速度为 $\frac{5}{2}$ , 则 $k = ?$

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2024年考研数二第13题解析：代换法解可分离变量的一阶微分方程

一、题目

微分方程 $y^{'}$ $=$ $\frac{1}{(x + y)^{2}}$ 满足条件 $y (1) = 0$ 的解为（）

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2024年考研数二第12题解析：二元函数的非条件极值

一、题目

函数 $f (x, y)$ $=$ $2 x^{3} - 9 x^{2} - 6 y^{4} + 12 x + 24 y$ 的极值点是（）

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2024年考研数二第11题解析：曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定

一、题目

曲线 $y^{2} = x$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆方程为（）

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