一、题目
某物体以速度 $v(t)$ $=$ $t+k \sin \pi t$ 做直线运动, 若它是从 $t=0$到 $t=3$ 的时间段内平均速度为 $\frac{5}{2}$, 则 $k=?$
难度评级：
二、解析 
求解物理应用问题的关键是将物理描述转换为数学描述。
物体在 $3$ 个单位时间内走过的距离为：
$$
\int_{0}^{3} (t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t
$$
因此，该物体在 $3$ 个单位时间内的平均速度可以表示为：
$$
\frac{\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t}{3}=\frac{5}{2}
$$
即：
$$
\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t=\frac{15}{2}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{3}(t+k \sin \pi t) \mathrm{d} t \\
& = \frac{1}{2} t^{2}-\left.\frac{k}{\pi} \cos \pi t\right|_{0} ^{3} \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{9}{2}+\frac{2 k}{\pi} = \frac{15}{2} }
\end{aligned}
$$
接着，由 $\textcolor{springgreen}{ \frac{9}{2}+\frac{2 k}{\pi} }$ $\textcolor{springgreen}{ = }$ $\textcolor{springgreen}{ \frac{15}{2} }$ 可得：
$$
k=\frac{3}{2} \pi
$$
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