什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
根据矩阵乘法运算的左行右列性质，一个上（下）三角矩阵左乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的行都乘以对角矩阵对角线上对应的元素；一个上（下）三角矩阵右乘对角矩阵，就相当于上（下）三角矩阵的列都乘以对角矩阵对角线上对应的元素.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形化性质对上面的这一结论做一个形象化的说明.
继续阅读“峰图 | 基于乘法运算的图形性质理解为什么上（下）三角矩阵与对角矩阵相乘之后得到的仍是上（下）三角矩阵？”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过峰图所表现出的“拓印”过程，形象地揭示矩阵初等变换过程中一些有趣也有意义的现象.
继续阅读“峰图 | 单位矩阵“拓印”过程的“面积”恒定定理”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于矩阵乘法运算的图形性质，形象化地证明下面的定理：
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原理分析和实际的例子，说明矩阵的初等行变换或者初等列变换可以表现出“方向性”，特别是“单向性”.
继续阅读“任何矩阵初等变换的集合都可以表现出“方向性””在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：
通过 2021 年的考研数二真题第 09 题，我们可以知道，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量如果可以被矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示，则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解就一定包含齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.
在上面这道题目中，「荒原之梦考研数学」给出了五种不同的解法，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过峰式图的方式，给出针对该题目第五种解法的图形化理解.
继续阅读“峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系”
设 $3$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，则（ ）
»A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
»D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解
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继续阅读“2021年考研数二第09题解析：线性表示、齐次线性方程组的解”二次型 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+x_{3}\right)^{2}-\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
»A« $2, 0$
»B« $1, 1$
»C« $2, 1$
»D« $1, 2$
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继续阅读“2021年考研数二第08题解析：二次型、正负惯性指数、二次型的配方”设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = ?$
»A« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n}$
»B« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»C« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»D« $\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n}$
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继续阅读“2021年考研数二第07题解析：定积分的定义、定积分转求和”设函数 $f\left(x, y\right)$ 可微，且 $f\left(x + 1, \mathrm{e}^{x}\right) = x \left(x + 1\right)^{2}$, $f\left(x, x^{2}\right) = 2 x^{2} \ln x$, 则 $\mathrm{d} f\left(1, 1\right) =$
»A« $\mathrm{d} x + \mathrm{d} y$
»B« $\mathrm{d} x – \mathrm{d} y$
»C« $\mathrm{d} y$
»D« $-\mathrm{d} y$
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继续阅读“2021年考研数二第06题解析：全微分、二元复合函数求导”设函数 $f \left( x \right) = \sec x$ 在 $x = 0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1 + a x + b x^{2}$, 则（ ）
»A« $a = 1, b = – \frac{1}{2}$
»B« $a = 1, b = \frac{1}{2}$
»C« $a = 0, b = – \frac{1}{2}$
»D« $a = 0, b = \frac{1}{2}$
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继续阅读“2021年考研数二第05题解析：泰勒公式、三角函数求导”设函数 $f\left(x\right) = a x-b \ln x \left(a>0\right)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）
»A« $\left(\mathrm{e}, +\infty \right)$
»B« $\left(0, \mathrm{e} \right)$
»C« $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}} \right)$
»D« $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, + \infty \right)$
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继续阅读“2021年考研数二第04题解析：罗尔定理、零点定理”有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $-3 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$. 当底面半径为 $10 \mathrm{cm}$, 高为 $5 \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）
»A« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»B« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»C« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»D« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
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继续阅读“2021年考研数二第03题解析：导数的物理应用”$f \left( x \right) = \begin{cases}
\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x}, \ x \neq 0 \\
1, \ x = 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处（ ）
»A« 连续且取得极大值
»B« 连续且取得极小值
»C« 可导且导数为 $0$
»D« 可导且导数不为 $0$
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由于：
$$
\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f \left( 0 \right)
$$
所以，函数 $f \left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续.
由题可知：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left( 0 \right) & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) – f \left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} – 1}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1 – x}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{2 x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2 x} \\ \\
& = \dfrac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 D 
[1]. 常用的等价无穷小公式
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
$\left( 1 \right)$ 当 $x \to 0$ 时，$\int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）
»A« 低阶无穷小.
»B« 等价无穷小.
»C« 高阶无穷小.
»D« 同阶但非等价无穷小.
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