荒原之梦，作者荒原之梦

极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目

已知 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ , 并且 $K \neq 0$ , 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K - \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $| A_{n} |$ $>$ $\frac{| K |}{2}$

⟨D⟩» $| A_{n} |$ $<$ $\frac{| K |}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \to \infty$ 的时候， $\frac{1}{x}$ , $\frac{2}{x}$ , $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{100}$ , 还是 $\frac{1}{9999999}$ , 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$1 + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \neq 1$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$ , 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \to \infty$ 时，都有：

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

也就是说，当 $n \to \infty$ 时：

$K + \frac{1}{n} = K - \frac{1}{n} = K$

又由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$\begin{aligned} A_{n} & = K + \frac{1}{n} ✓ \\ A_{n} & = K - \frac{1}{n} ✓ \end{aligned}$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K + \frac{2}{n}) > (K + \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} > (K + \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} < (K + \frac{1}{n}) \end{aligned}$

类似的，当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K - \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K - \frac{2}{n}) < (K - \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} < (K - \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} > (K - \frac{1}{n}) \end{aligned}$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0 \end{matrix}$

且：

$\frac{| K |}{2} > 0$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \to \infty$ 时，上面的 $(1)$ 式一定成立，并且 $\frac{| K |}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$| K | > \frac{| K |}{2}$

即：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | > \frac{| K |}{2}$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0$

于是，根据极限的定义可知，若令 $ξ = \frac{| K |}{2}$ , 则一定存在正整数 $N$ , 使得当 $n > N$ 时，有：

$\begin{aligned} (| | A_{n} | - | K | |) < (ξ = \frac{∣ K ∣}{2}) \\ \Rightarrow & | | A_{n} | - | K | | < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{- | K |}{2} < (| A_{n} | - | K |) < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < \frac{3 | K |}{2} \\ \Rightarrow & | A_{n} | < | K | \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < | K | ✓ \end{aligned}$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$ , $ξ$ $\in$ $(0, | K |)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$| A_{n} | > k | K |$

综上可知，C 选项正确。

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

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峰说峰语：时间和注意力是人生最宝贵的资产

人生的一切行为都必须消耗一定的时间，每个人每天都只有 24 个小时的时间，同时，对这些时间的利用率也随着注意力的不同而发生着改变——

时间是宝贵的、很容易浪费的、几乎是不可再生的，所以，不要在无意义的人和事上浪费自己的时间，因为这是一件相当奢侈的事情。

2024 年 10 月 26 日

投石问路：线性代数中的升阶法详解

一、前言

在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n + 1$ 阶行列式。

那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。

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峰说峰语：没有永恒的意义，就像没有“永动机”

产生的就会腐朽，出现的就会消失，永恒的意义也许是不存在的。

但是，永恒仍然具有价值，追求永恒本身就是对永恒的塑造。

2024 年 10 月 25 日

矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略

一、前言

大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$ ”）。

那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。

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峰说峰语：伟大的灵魂总是散发着迷人的光芒

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：伟大的灵魂总是散发着迷人的光芒 | Photographer: NASA/Kim Shiflett

我们见识了越多的阴暗和无趣，就越容易陷入对整个世界的否定。但是，在这世界上，现在或曾经，有着许多伟大的灵魂，他们或是在自己的领域深刻耕耘，或是为了家国大义而舍生忘死，这些伟大的灵魂，可以让我们藐视生活中的哪些斤斤两两的鸡毛蒜皮，建立起宏大的自信。

2024 年 10 月 24 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：2024 年 11 月 07 日，在佛罗里达州美国宇航局肯尼迪航天中心的尼尔·A·阿姆斯特朗运营和检查大楼内，一台大型起重机将美国宇航局的猎户座宇宙飞船从最终组装和系统测试室中吊起，并将其移至高度舱以完成进一步的测试。
NASA ID: KSC-20241107-PH-KLS01_0049
Date Created: 2024-11-07
Photographer: NASA/Kim Shiflett

多想几步，答案或许就在前方

一、题目

已知 $a$ , $b$ , $c$ , $\dots$ , $z$ 这 $26$ 个字母为变量，请化简下面这个式子：

$\begin{aligned} I \\ = (a - x) (b - x) (c - x) \dots (z - x) \end{aligned}$

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峰说峰语：熙熙攘攘的世界里，真知灼见更显难能可贵

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：熙熙攘攘的世界里，真知灼见更显难能可贵 | Image Credit: NASA

世界喧嚣而嘈杂，充斥着各种各样的噪音。但是，好在世界并没有完全淹没在无意义的海洋中，我们仍然可以接触到如丝绸般绚丽的真知灼见。

2024 年 10 月 23 日

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描述：2024 年 11 月 15 日，当国际空间站在阿拉斯加阿留申群岛以南多云的北太平洋上空 269 英里处运行时，明亮的绿色北极光在地球表面上空流动。
NASA ID: iss072e188141
Date Created: 2024-11-15
Image Credit: NASA

二阶矩阵的快速求逆公式

一、前言

求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。

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峰说峰语：春夏秋冬塑造了世界，柴米油盐塑造了我们

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：春夏秋冬塑造了世界，柴米油盐塑造了我们 | Image Credit: NASA

春夏秋冬的变化，在大地之上，涂抹了一层又一层的油彩，雕刻了沟壑，隆起了山峦；柴米油盐的喂养，填充了我们的肌肤，构筑了生命得以存在的土壤。

2024 年 10 月 22 日

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描述：这幅图片是从国际空间站拍摄的非洲国家乌干达的 Kyoga 湖、Kwania 湖、Kojweri 湖和其他湖泊，那里有鳄鱼、许多鱼类和植物。
NASA ID: iss072e073616
Date Created: 2024-10-19
Image Credit: NASA

对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行

一、题目

已知：
$\begin{aligned} D & = | \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} | \\ D_{1} & = | \begin{array}{c} 2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\ 2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\ 2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33} \end{array} | \end{aligned}$

则：
$D_{1} = ?$

[A]. $2 D$

[C]. $2^{9} D$

[B]. $2^{3} D$

[D]. $2 \cdot 3 D$

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峰说峰语：我们的一生都在为了获得别人的肯定而努力，却时常忘了，自己才是生活的全部

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：我们的一生都在为了获得别人的肯定而努力，却时常忘了，自己才是生活的全部 | Image Credit: NASA

很多时候，我们必须生活在别人赞许的目光中，才能看清未来的道路，但是，无论道路指向何方，都需要我们自己一步一步去走。我们时常为了别人的理解、关爱和肯定而付出和奋斗，却常常忽略了自己也需要自己的抚慰——人生莫大的荣誉，就是活成自己想要成为的样子，而不是别人眼中的自己。

2024 年 10 月 21 日

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描述：这张图片是从国际空间站拍摄的澳大利亚 Mission 河，图上的地点位于澳大利亚昆士兰州北端 Carpenteria 湾，这里属于热带气候。
NASA ID: iss072e098244
Date Created: 2024-10-24
Image Credit: NASA

解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

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峰说峰语：当强则强才是真的强

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：当强则强才是真的强 | Photographer: SpaceX

强大不是强者的面具，真正的强者，是当强则强——在风和日丽的时候，是田野上的农夫，在狂风骤雨的时候，是举剑问天的战士。

2024 年 10 月 20 日

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描述：美国东部时间 2024 年 11 月 04 日晚上 09 时 29 分，搭载着货运龙飞船的 SpaceX 猎鹰 9 号运载火箭从佛罗里达州的 NASA 肯尼迪航天中心的 39A 发射台发射升空，执行 SpaceX 的第 31 次国际空间站商业补给任务。
NASA ID: KSC-20241104-PH-SPX01_0001
Date Created: 2024-11-04
Photographer: SpaceX

借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目

已知 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ （其中 $s ⩽ n$ ）是一组 $n$ 维列向量， $A$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：

$\begin{aligned} A α_{1} = α_{2}, \\ A α_{2} = α_{3}, \\ \dots, \\ A α_{s - 1} = α_{s} \neq 0, \\ A α_{s} = 0 \end{aligned}$

请证明向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{s}$ 线性无关。

难度评级：

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