一、题目
设函数 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( a, b \right)$ 可导，证明：导函数 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a, b \right)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $\left( a,b \right)$ 内任一点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，有：
$$
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}
$$
难度评级：
二、解析
根据充要条件的前充分后必要定理，分别对必要性和充分性进行证明：
必要性的证明
设 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a,b \right)$ 内严格单增，$\forall x_{1} < x_{2} < x_{3} \in \left( a,b \right)$，由拉格朗日中值定理可知，$\exists \xi_{1} \in \left( x_{1}, x_{2} \right), \xi_{2} \in \left( x_{2}, x_{3} \right)$, 使得：
$$
\begin{aligned}
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}} & = f^{\prime}\left( \xi_{1} \right) \\ \\
\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}} & = f^{\prime}\left( \xi_{2} \right)
\end{aligned}
$$
因为 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a,b \right)$ 内严格单增，所以 $f^{\prime}\left( \xi_{1} \right)<f^{\prime}\left( \xi_{2} \right)$, 于是：
$$
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}
$$
充分性的证明
设，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，$\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}$.
接下来证明 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a,b \right)$ 内严格单增：
对于 $\forall x_{1}0$ 且 $h$ 足够小，则 $x_{1} – h, x_{1}, x_{0}, x_{2}, x_{2} + h$ 这几个点的相对位置如图 01 所示：
于是，下面的不等式成立：
$$
\textcolor{lightgreen}{ \frac{f\left( x_{1} \right)-f\left( x_{1}-h \right)}{h} } < \frac{f\left( x_{0} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{0}-x_{1}} < \frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{0} \right)}{x_{2}-x_{0}} < \textcolor{lightblue}{ \frac{f\left( x_{2}+h \right)-f\left( x_{2} \right)}{h} }
$$
Tip
$h$ 足够小就意味着 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 离得足够近，因此，如果对于 $\forall x_{1}<x_{2}\in\left( a,b \right)$ 都满足上面的不等式，那么，这个性质就是在区间 $\left( a, b \right)$ 上处处成立，因为可以对整个 $\left( a, b \right)$ 区间上的点做“致密”的“逐个”验证.
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所以，由一点处导数的定义可得：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}\left( x_{1} \right) } & = \textcolor{lightgreen}{ \lim_{h\to 0^{+}} \frac{f\left( x_{1} \right) – f\left( x_{1} – h \right)}{h} } \leqslant \frac{f\left( x_{0} \right) – f\left( x_{1} \right)}{x_{0} – x_{1}} \\ \\
\textcolor{lightblue}{ f^{\prime}\left( x_{2} \right) } & = \textcolor{lightblue}{ \lim_{h\to 0^{+}} \frac{f\left( x_{2}+h \right) – f\left( x_{2} \right)}{h} } \geqslant \frac{f\left( x_{2} \right) – f\left( x_{0} \right)}{x_{2} – x_{0}}
\end{aligned}
$$
因此：
$$
f^{\prime}\left( x_{1} \right)<f^{\prime}\left( x_{2} \right)
$$
即 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a,b \right)$ 内严格单增.
综上可知，充分条件和必要条件都成立，充要条件得证.
关于充分性的补充证明
由图 01 可知，前面关于充分性的证明存在一个瑕疵，即 $\left( x_{1}, x_{2} \right) \in \left( x_{1} – h, x_{2} + h \right)$.
虽然区间 $\left( x_{1} – h, x_{2} + h \right)$ 也就比区间 $\left( x_{1}, x_{2} \right)$ 大一点点（因为 $h$ 很小），但是，仍然存在属于区间 $\left( x_{1} – h, x_{2} + h \right)$ 的点却不属于区间 $\left( a, b \right)$ 的情况，因为题目只说了 $x_{1}， x_{2}, x_{3}$ 是区间 $\left( a, b \right)$ 内的点，因此，如果 $x_{1}$ 或者 $x_{2}$ 刚好是区间 $\left( a, b \right)$ 边上的点，则 $x_{1} – h$ 或者 $_{2} + h$ 就有可能不是区间 $\left( a, b \right)$ 内的点.
下面是一个改进后的证明过程（只不过下面的证明过程中某些表达式的写法没有前面的证明过程中对应的表达式的写法看上去那么“自然”）：
设，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，$\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}$.
对于 $\forall x_{1}0$ 且 $h$ 足够小，则 $x_{1}, x_{1} + h, x_{0}, x_{2} – h, x_{2}$ 这几个点的相对位置如图 02 所示：
于是：
$$
\textcolor{lightgreen}{ \frac{f\left( x_{1}+h \right)-f\left( x_{1} \right)}{h} } < \frac{f\left( x_{0} \right)-f\left( x_{1}+h \right)}{x_{0}-x_{1}-h} < \frac{f\left( x_{2}-h \right)-f\left( x_{0} \right)}{x_{2}-h-x_{0}} < \textcolor{lightblue}{ \frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{2}-h \right)}{h} }
$$
所以：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}\left( x_{1} \right) } & = \textcolor{lightgreen}{ \lim_{h\to 0^{+}} \frac{f\left( x_{1} + h \right) – f\left( x_{1} \right)}{h} } \leqslant \frac{f\left( x_{0} \right) – f\left( x_{1}+h \right)}{x_{0} – x_{1} – h} \\ \\
\textcolor{lightblue}{ f^{\prime}\left( x_{2} \right) } & = \textcolor{lightblue}{ \lim_{h\to 0^{+}} \frac{f\left( x_{2} \right) – f\left( x_{2}-h \right)}{h} } \geqslant \frac{f\left( x_{2}-h \right) – f\left( x_{0} \right)}{x_{2} – h – x_{0}}
\end{aligned}
$$
因此：
$$
f^{\prime}\left( x_{1} \right)<f^{\prime}\left( x_{2} \right)
$$
即 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a,b \right)$ 内严格单增.
上面这两种关于充分性的证明的核心思路都是通过插值的方法，引入另外两个点，从而根据一点处导数的定义构造出两个可以比较大小的一点处的导数值，通过对这两个导数值大小的比较，完成充分性的证明.
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