荒原之梦 – 第 24 页

级数 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？

一、题目

$$
I = \lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} = ?
$$

难度评级：

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每日箴言：做好自己，才能做好未来

对于个体而言，所有事情的始发站和终点站都是自己——所以，做好自己该做的事情，是过去、现在和未来所有一切的基础。

2024 年 08 月 29 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：生活在南极洲的阿德利企鹅。
作者：Jason Auch
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2008 年 12 月 30 日 05 时 23 分 18 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

一、题目

已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$, 则：

$$
I = \int x f ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x
$$

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每日箴言：每个人都有自己的使命

我们每个人来到这个世界上，都背负着自身特有的使命，而我们要做的就是认清和接纳自己的使命，认认真真的努力去完成。

2024 年 08 月 28 日

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描述：一列位于英国伦敦西芬奇利站（**）的 1995 年型地铁列车。该款列车由阿尔斯通公司制造，分别在 1998 年 06 月和 2001 年 04 月开始投入运行，取代了伦敦地铁之前的 1959 年型列车、1969 年型列车和 1972 年型列车。
作者：Hahifuheho
授权协议：本作品采用知识共享 CC0 1.0 通用公有领域贡献许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2009 年 06 月 21 日 13 时 46 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛

一、题目

下面的数项级数是收敛还是发散？

$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$

难度评级：

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每日箴言：我们对世界仍然知之甚少

人类对世界的探索和改造看似已经非常充分，但其实，表面的充分之下，或许是因为还有很多我们未曾注意到的深渊，那里幽深且静谧，在深邃的尽头，闪烁着奇异的光芒。

2024 年 08 月 27 日

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描述：一辆向南行驶前往肯宁顿（Kennington）的伦敦地铁北线 1995 年型列车正在通过几乎是圆形的地铁隧道口，该隧道口位于亨顿中央车站（Hendon Central station）以北。
作者：SPSmiler
授权协议：公有领域授权
拍摄时间（当地时间）：2009 年 06 月 21 日 15 时 39 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

考研数学中需要注意的三种特殊的函数

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

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每日箴言：风浪的洗礼可以磨平岩石的棱角，但也扩大的海岸的胸怀

人生要不断的经历，不断的改变，才能适应环境的需求——虽然改变意味着失去，但也意味着新的可能。

2024 年 08 月 26 日

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描述：法国布列塔尼半岛普罗高夫镇 Pors-Loubous 码头暴风中的海浪和小船。
作者：Henri Camus
授权协议：本文件采用知识共享署名 1.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 03 月 27 日
相机坐标：西经 4° 39′ 48.3″, 北纬 48° 01′ 30.3″
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分块矩阵的秩相关公式及实战化解释

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们带来有关分块矩阵的秩的有关结论与多种证明方法。

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每日箴言：我们不能记录下生活中的每时每刻——逝者如斯夫，不舍昼夜

人类发明了文字，发明了摄影，发明了雕塑，但是，我们永远无法留住过去，也永远无法记录过去，过去了的，从来未曾停下脚步。

2024 年 08 月 25 日

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描述：加拿大班夫国家公园的梦莲湖。
作者：Gorgo
授权协议：公有领域
拍摄时间（当地时间）：2005 年 09 月 17 日 18 时 53 分
相机坐标：西经 116° 10′ 47.6″, 北纬 51° 19′ 40.2″
来源：wikipedia.org

平均值不等式的详细证明过程

一、前言

已知 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{n}$ 为 $n$ 个非负实数，则其几何平均值 $\sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}}$ 一定小于或等于其算术平均值 $\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$, 即：

$$
\begin{aligned}
& \sqrt[n]{x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \ \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} }
\end{aligned}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用数学归纳法和递推法两种方法为同学们证明上述不等式。

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每日箴言：接受自己的平凡，努力创造不凡

接受平凡，就是认清自己当下的能力和处境，不好高骛远，也不妄自菲薄；而努力创造不凡，就是最大化的利用现有资源，努力创造更美好的未来，而不是放弃成就更好明天的可能。

2024 年 08 月 24 日

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描述：位于德国巴伐利亚州西南方，距离德国菲森镇约 4 公里的新天鹅堡。这座城堡高 65 米，是巴伐利亚国王路德维希二世的行宫之一，共有超过 200 个房间，但只有 14 个房间依照设计彻底完工，其他的房间则因为国王在 1886 年逝世而未完成。
作者：Softeis
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 06 月 21 日 11 时 46 分
建筑坐标：东经 10° 44′ 58″, 北纬 47° 33′ 27″
相机坐标：东经 10° 43′ 49″, 北纬 47° 32′ 22″
来源：wikipedia.org

证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

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每日箴言：只要在翱翔，什么样的姿态都很美

人生，当然要拥有一些什么，才能进一步施展才华，但是，人生，也不是必须要拥有什么，而后才能优雅地翱翔。

2024 年 08 月 23 日

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描述：英国伦敦圣詹姆斯公园的黑头鸥。
作者：Diliff
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 11 月 19 日 14 时 42 分
相机坐标：西经 0° 08′ 00″, 北纬 51° 30′ 06″
来源：wikipedia.org