荒原之梦 – 第 22 页

一、题目

$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$

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每日箴言：我们每一天都在“盗用”昨天的身份

今天的自己所拥有的身份与物质财产，全部都来自昨天的那个“你”——所以，在我们憧憬明天的那个“他/她”的时候，也不要忘记给昨天的“你”一次致敬的回眸。

2024 年 09 月 13 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：从滨湖阿尔卑斯山上眺望雾中的瑞士楚格湖。
作者：Simon Koopmann
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 12 月 30 日 14 时 14 分
相机坐标：东经 8° 27′ 29″, 北纬 47° 03′ 47″
来源：wikipedia.org

关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

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每日箴言：没有哪条路一定通向成功，但待在原地，一定会陷入失败

前进方向上的每一条路都可能荆棘遍地，前方有可能是光明与坦途，也可能是昏暗与泥沼。但是，世界总是在不断的发展变化，待在原地一定会被世界抛弃。

2024 年 09 月 12 日

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描述：芬兰赛车手米卡·哈基宁驾驶梅塞德斯-奔驰 DTM 赛车参加在德国斯图加特市举办的 Stars and Cars 比赛。
作者：AngMoKio
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 11 月 07 日
相机坐标：东经 9° 14′ 05.72″, 北纬 48° 47′ 17.6″
来源：wikipedia.org

如何表示最后两位都是 $1$ 的任意一个数字？

一、题目

任取一整数 $K$, 请求解数字 $K^{3}$ 的最后两位数字均为 $1$ 的概率。

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每日箴言：有所不为，才能有所为

人的精力与能力都是有限的，人每天能自由支配的时间也是有限的，所以，如何做到有所不为，如何规划做事的先后顺序，如何明确当前的首要任务，是我们能否有所为的关键。

2024 年 09 月 11 日

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描述：瑞士阿尔卑斯山一个村庄自山间引来的泉水。这样的泉水是当地人和牲畜的饮用水源。
作者：Juhanson
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2004 年 05 月 15 日 15 时 56 分
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1} \\
y_{4} & = \frac{-1}{x}
\end{aligned}
$$

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每日箴言：繁华过后，朴素才是真理

锦衣玉食，饕餮盛宴，或许可以带来暂时的快乐，但即便是帝王的餐桌，也不能没有五谷杂粮，即便是富丽堂皇的宫殿，也不能没有人间四季。

2024 年 09 月 10 日

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描述：俄亥俄河上连接辛辛那提与卡温顿的罗布林吊桥。俄亥俄河是美国东部的一条河流，为密西西比河最东边的支流。俄亥俄河全长 1579 公里，流域面积 490603 平方公里。
作者：Derek Jensen
授权协议：公有领域
拍摄时间（当地时间）：2002 年 01 月 01 日 02 时 05 分
相机坐标：西经 84° 30′ 29.5″, 北纬 39° 05′ 27.7″
来源：wikipedia.org

被积函数有 4 次幂的时候，先尝试凑 2 次幂

一、题目

$$
I = \int \frac{1}{x^{4} + 1} \mathrm{~d} x = ?
$$

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每日箴言：我们总是对更高更远的地方充满向往，却往往忽视了自己来自何方

河流，只有知道了源头，才能确定流向，河流如此，人亦如此。我们总是向往更广的世界，总是以为远方更美好，但是，只有珍视自己的源头，才能立足于千变万化的世界，只有明确了自己来自何方，才能坚定自己要去往何处。

2024 年 09 月 09 日

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描述：不丹境内的喜马拉雅山的冰川和湖泊。
作者：NASA
授权协议：本文件完全由NASA创作，在美国属于公有领域。根据 NASA 的版权方针，NASA 的材料除非另有声明否则不受版权保护。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 02 月 13 日 12 时 16 分
相机坐标：东经 90° 04′ 00.98″, 北纬 28° 11′ 13.78″
来源：wikipedia.org

三元函数全微分的计算：比二元多一元

一、题目

已知 $f(x,y,z)$ $=$ $\left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{1}{z}}$, 则：

$$
\mathrm{d} f(1,1,1) = ?
$$

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每日箴言：那些到处都有参考答案的日子已经一去不返了

小时候的几乎以一切都有参考答案，我们要做的就是放心去做，然后通过参考答案验证做的结果。但是，随着一次又一次日升和日落，我们能够获得的参考答案也变得越来越少，越来越模糊了，因为有很多事情，我们需要自己去探索，自己去踩下第一个脚印。

2024 年 09 月 08 日

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描述：西班牙巴伦西亚市艺术科学城的 L’Hemisfèric 天文馆。
作者：Diliff
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2007 年 01 月 01 日 17 时 30 分
相机坐标：西经 0° 21′ 15.3″, 北纬 39° 27′ 27.8″
来源：wikipedia.org

二阶偏导数求导对比：两个变量的三元函数和三个变量的二元函数

题目一：两个变量的三元函数

已知函数 $u$ $=$ $f \left( x + y , x y , \frac { x } { y } \right)$, 求 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} }$, $\frac { \partial^{2} u }{ \partial x \partial y }$, $\frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}$.

其中，$f$ 具有二阶连续偏导数。

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每日箴言：数学是世界运行的背后逻辑

我们不知道在我们这个世界之外是什么，但就我们这个世界本身而言，其运行的秩序，都是用数学写就的。

2024 年 09 月 07 日

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描述：意大利拉齐奥大区安圭拉腊·萨巴齐亚的风景。
作者：AngMoKio
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.5 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 08 月 10 日
相机坐标：东经 12° 16′ 04″, 北纬 42° 05′ 37″
来源：wikipedia.org

在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$

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