荒原之梦 – 第 19 页

一、前言

荒原之梦考研数学 | 高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系 | 图 01. — 图 01. 图中描绘了一种二维高斯函数 $g(x,y)$ $=$ $\mathrm{e}^{- (x^{2} + y^{2})}$, 以及其在三维坐标系 $XOZ$ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 $g(x)$ $=$ $\mathrm{e}^{-x^{2}}$ 和在三维坐标系 $YOZ$ 平面上投影所得的一种一维高斯函数 $g(y)$ $=$ $\mathrm{e}^{-y^{2}}$.

高斯函数、高斯积分和正态分布之间具有密切的关系，搞明白这些关系，有助于我们对题目和解题方式有更清晰的理解。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲明白这些概念之间的关系。

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峰说峰语：在蚂蚁的世界里，一粒灰尘，也是庞然大物

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：在蚂蚁的世界里，一粒灰尘，也是庞然大物 | Secondary Creator Credit: NASA/JPL-Caltech

我们可以研究遥远的太空，可以透过时间的维度，回顾千百年前的文墨，也可以用科幻的眼光，展望遥远的未来。但事实上，没有拓开眼界的人仍然羁绊于眼前的一丝一毫。所以，最难做到的不是抵达远方，而是看向前方。

2024 年 10 月 13 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：2024 年 10 月 11 日，即“火星 2020”任务的第 1295 个火星日，NASA 毅力号火星车上的一个导航摄像头捕捉到了火星车在爬上杰泽罗陨石坑边缘时留下的痕迹。从图中可以看到，履带辙印的边缘不直或不光滑，这表明火星车在行驶过程中履带发生了横向滑动。此外，图像左上角远处的干涸河道来自名为 Neretva Vallis 的河流, 在数十亿年前，这条河为杰泽罗陨石坑提供了淡水。
NASA ID: PIA26379
Date Created: 2024-10-28
Secondary Creator Credit: NASA/JPL-Caltech

概率论中的 $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ 表示什么意思？

一、前言

在一些概率论和数理统计的题目或者学习资料中，我们可能会看到如下这样的写法：

$$
\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix}
$$

那么，上面这个式子是什么意思呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细解答一下。

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峰说峰语：再遥远的梦想，也可以温暖心灵

荒原之梦考研数学 | 每日箴言：再遥远的梦想，也可以温暖心灵 | Credit: NASA/JPL-Caltech

遥远的梦想，并非触不可及，她的每一丝光芒，都会照亮我们现在的路，在凛冽的寒风中，给心灵以温暖。

2024 年 10 月 12 日

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描述：2024 年 10 月 15 日，加利福尼亚州里弗赛德县马奇空军储备基地的工作人员正在将一个装有NASA ISRO 合成孔径雷达天线反射器的专用集装箱装入一架 C-130 大力神运输机的货舱。这架飞机随后启程前往印度班加罗尔。
Credit: NASA/JPL-Caltech

计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$

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每日箴言：寒冷的夜里，每一盏昏黄的路灯，都寄托着一个灵魂

你是否曾在路灯下憧憬过未来，你是否曾在路灯下渴望过家的温暖，你是否曾试图透过路灯昏暗的光线，眺望前方——每一盏路灯，都是一座城市可供暂时休憩的肩膀，默默地，温暖地，等待着黎明。

2024 年 10 月 11 日

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描述：国际空间站中的这些种子会在微重力环境下暴露数月，然后返回地球，与留在地球上的相同种子一起种植以供对比。
NASA ID: iss070e028324
Date Created: 2023-11-21
Image Credit: NASA

有限总体的大量无放回抽样不是简单随机抽样

一、前言

“抽样”是概率论中的一个关键概念，一般情况下，“抽象”特指“简单随机抽样”。

那么，什么是“简单随机抽样”，什么不是“简单随机抽样”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解清楚这一问题。

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每日箴言：less is more

减少不必要的娱乐、社交，减少不必要的工具、用品，减少不必要的想法，给内在和外在全面减少多余的负载，这样才能真正专注于应该专注的事物本身，才能更好的发挥自身应有的能力，提升时间的“有效转化率”。

2024 年 10 月 10 日

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描述：2024 年 08 月 18 日星期一，一颗橙色的满月从位于佛罗里达州的 NASA 肯尼迪航天中心上空升起。
Image Credit: NASA/Ben Smegelsky

切比雪夫不等式的含义及其可视化

一、前言

切比雪夫不等式（又称：切贝雪夫不等式，英文名称：chebyshev’s theorem）在概率论与数理统计中这门课程中是一个非常重要的概念，该不等式在大数定理中也发挥着重要的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过直观的文字与图形化解释，帮助同学们更好地理解切比雪夫不等式。

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每日箴言：所有的一切都在转瞬即逝，但这就是永恒本身

宇宙中的一切都在无时无刻发生着变化，从不曾停止，也永不会停歇——人们往往倾向于用永恒作为价值的衡量标准，但殊不知，我们也许就生活中在永恒之中。

2024 年 10 月 09 日

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描述：图中像一颗彗星一样的星系是由 NASA/ESA 的哈勃太空望远镜拍摄的编号为 IC 3225 的螺旋星系。
Image Credit: ESA/Hubble & NASA, M. Sun

考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$
\exp (x)
$$

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每日箴言：“吹牛”和“哭惨”的背后是几乎同样的心理

“吹牛”是为了“狐假虎威”，以比别人看起来更牛，“哭惨”是为了“抛砖引玉”，以听到别人更惨，不过是一个直白，一个含蓄，而背后的逻辑都是为了建立形成优越感的落差。这样的心理其实再正常不过了，因为人们普遍不希望展现自己落魄或无能的一面，只是有的人能够克制这样的展现欲，而有的人则不加掩饰。然而，功利化的比较虽然说不上低劣，但功利化的比较往往是没有意义的，因为每个人都沉浸在自己的角色中，每个人都有一套自圆其说的哲学，一群人比较的结果就是，每个人都觉得自己也还行。

2024 年 10 月 08 日

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描述：NASA 陆地资源卫星 8 号（Landsat 8）的陆地成像仪于 2024 年 09 月 07 日在新西兰南岛上空拍摄了这张细长的透镜云图像，当地人称之为 “Taieri Pet”. 当盛行风遇到地形障碍时，如山脉，就会形成透镜云。风被迫向上流动并越过山脉，在大气中产生一种波浪。空气在波峰处冷却，其中含有的水蒸气凝结成云，从而形成了“透镜云”。
Image credit: NASA/Lauren Dauphin; USGS

没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：

$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$

难度评级：

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每日箴言：时刻都要防止流于表面，时刻都要注意直抵核心

表面工作是推动事物发展的次要方面，甚至是负向方面——真正能推动事物前进的，是直抵核心的实干，这样的实干也许并不光鲜亮丽，也许不能立即获得正向的反馈，但却是实现成功的核心要素。所以，不是先有美丽的花，才有饱满的种子，而是先有了扎根于泥土之中的种子，才有了明媚的鲜花。

2024 年 10 月 07 日

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描述：1964 年 10 月 30 日，NASA 飞行员乔·沃克坐在 1 号登月研究车的飞行员训练平台上，该平台可以模拟在月球表面下降的最后 200 英尺。
Image credit: NASA

借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善

一、前言

我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$

上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。

但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。

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