在克服一山更比一山高的困难之后
是一重更比一重美
一步更比一步广阔的新天地
作者： 荒原之梦
三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路
一、前言 
在本文中，荒原之梦网将阐述一种用于求解由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 通过有理运算组成的有理式积分的一般思路，还将通过几道例题做进一步的说明和验证。
继续阅读“三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 有理式积分的一般解题思路”巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x} \mathrm{d} x = ？
$$
难度评级：
继续阅读“巧用三角函数凑微分，化不同为相同：$\int$ $\frac{\cos^{2} x \sin x}{\sin^{2} x}$ $\mathrm{d} x$”晚安：落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色
夜幕降临前夕的晚霞，总是让人心生沉醉，那一缕缕绚烂的光彩，总是会让人不由得感叹自然的恢弘与神奇。当然，晚霞不只有绚丽，还有一种与生俱来的静谧和气定神闲的深沉，仿佛是一首高亢的乐曲，用清晰响彻的琴弦，奏鸣着一天时光的华丽终章。
每当看到壮丽的日落，我总是想到王勃所作的《滕王阁序》中那句著名的千古佳句：”落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”——还有什么比这自然的恩赐更好的礼物呢？
希望相聚到荒原之梦网的朋友们，在学习、工作和奋斗之余，也给自己一些时间，驻足欣赏一下那永远独一无二的落霞，和永远绵延悠长的天际。
荒原之梦
2023年4月8日
求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法
一、前言
在本文中，我们将讨论形如下面这样的，由三角函数 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合所得的分式的积分的通用解法：
$$
\int \frac{c \sin x + d \cos x}{a \sin x + b \cos x} \mathrm{d} x
$$
其中，$a$, $b$, $c$, $d$ 为常数。
相关例题：
《加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$》
继续阅读“求解 $\sin$ 与 $\cos$ 线性组合分式积分的通用解法”求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解
一、题目
方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足 $y(0)$ $=$ $0$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $1$ 的特解是多少？
难度评级：
继续阅读“求解 $y^{\prime \prime}$ $+$ $4 y^{\prime}$ $+$ $4y$ $=$ $e^{-2x}$ 满足指定条件的特解”求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分
一、题目
求解下面这个函数的全微分：
$$
z = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}
$$
难度评级：
继续阅读“求解 $z$ $=$ $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的全微分”加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“加加减减，凑凑拆拆：$\int$ $\frac{\sin x}{\sin x + \cos x}$ $\mathrm{d} x$”计算嵌套三角函数之：$\tan$ 与 $\arccos$
计算嵌套三角函数之：$\sin$ 与 $\arccos$
只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$
一、题目
已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 则：
$$
\int f(x) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$”巧用 $e^{x}$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^{x}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“巧用 $e^{x}$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^{x}}$ $\mathrm{d} x$”乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int \frac{1}{x + x^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“乘法变减法，轻松化“尴尬”：$\int$ $\frac{1}{x+x^{2}}$ $\mathrm{d} x$”适时而止，更简单：$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$
一、题目
$$
\int e^{x} \arcsin \sqrt{1-e^{2x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“适时而止，更简单：$\int$ $e^{x}$ $\arcsin \sqrt{1-e^{2x}}$ $\mathrm{d} x$”披着根号外衣的幂函数积分
一、题目
$$
\int \sqrt{x} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d} x = ?
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1-x}} \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“披着根号外衣的幂函数积分”