一、前言 
你知道当 $x \rightarrow 0$ 时，以下式子的等价无穷小是多少吗？
$$
1 – \sqrt{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[5]{\cos x} = ?
$$
作者： 荒原之梦
解决 0/0 型极限的三种方法
变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！
一、题目
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=2$, $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} t^{2} f\left(x^{3}-t^{3}\right) \mathrm{d} t$, $g(x)=\frac{x^{7}}{5}$ $+$ $\frac{x^{6}}{6}$, 则 当 $x \rightarrow 0$ 时, $F(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小吗？
难度评级：
继续阅读“变限积分被积函数中包含的变量不好处理？先整体代换试试！”一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小
一、题目
已知正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{a_{n}} x^{n} \mathrm{~d} x$ $=$ $2$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“一般规律：大于 1 时越乘越大，小于 1 时越乘越小”当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大
一、题目
已知：
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大”一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的
定积分运算时的积分上下限：什么时候变？什么时候不变？
一、前言
在进行定积分运算时，积分上下限是我们需要着重关注的一个问题——什么时候需要变？什么时候不需要变？在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将带你一探究竟！
继续阅读“定积分运算时的积分上下限：什么时候变？什么时候不变？”直角坐标系下一般方程转参数方程的通用方法
当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？
一、题目
已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$
难度评级：
继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？”四大微分中值定理汇总：费罗拉西
一、前言
在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将以实用为目的，尽可能简洁的表述出考研数学中要求的四种微分中值定理（因此，可能会导致某些表述不够严谨）。
继续阅读“四大微分中值定理汇总：费罗拉西”求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分”
一、题目
已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$
难度评级：
继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子
一、前言
在考研数学真题和练习题中，我们经常会遇到对包含 $e^{x}$ 或 $e^{x}$ 变体的式子进行积分、凑微分、分部积分和求导等运算，由于 $e^{x}$ 的特殊性，这类题目往往需要一些经由日常积累才能快速运用的技巧——
荒原之梦网为此整理了和 $e^{x}$ 有关的常用解题思路，建议大家 收 藏 当前页面的链接，后续更新会第一时间发布在这里。
继续阅读“考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子”通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围
一、题目
已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：
$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$
又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.
则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？
难度评级：
继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”利用几何意义快速判断一重定积分的性质
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.
若下面不等式成立：
$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？
难度评级：
继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：
当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？
难度评级：
继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”