题目
已知函数 $y(x)$ 由方程 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 确定，求 $y(x)$ 的极值.
解析
一、计算 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$.
在式子 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 中对 $x$ 求偏导，可得：
$$
3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3 – 3x^{2}}{3 + 3y^{2}}.
$$
若令 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$, 则：
$$
3 – 3 x^{2} = 0 \Rightarrow
$$
$$
x = -1 或 x = 1.
$$
由上述分析可知，$x = -1$ 和 $x = 1$ 一定对应着函数 $y(x)$ 的极大值点和极小值点，但是，我们还需要分析出来函数 $y(x)$ 在 $(- \infty, -1)$, $(-1, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 这三段区间上的增减性，才可以最终确定哪个是极大值，哪个是极小值。
由于在 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 的情况下，只求出来两个值，也就是说，函数 $y(x)$ 只在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 这两处导数值为零。由此可知，函数 $y(x)$ 在 $(- \infty, -1)$, $(-1, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 这三段区间的每个区间内的单调性都保持不变，我们在判断每个区间内函数 $y(x)$ 的单调性时只需要在该区间内找一个易于判断的值（或极限）代入，求出一个关于 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 的特解，即可判断出函数 $y(x)$ 在该区间内的单调性。
二、当 $x \in (- \infty, -1)$ 时，$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0$.
当 $x \rightarrow – \infty$ 时，由于 $|x^{3}|$ 和 $|y^{3}|$ 都远大于 $3x$, $3y$ 和 $2$, 因此：
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0) \approx
$$
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (x^{3} + y^{3} = 0).
$$
同理可知：
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0) \approx
$$
$$
\lim_{x \rightarrow – \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0)
$$
又：
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x^{3}) \Rightarrow – \infty \Rightarrow
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x) \Rightarrow – \infty.
$$
因此：
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y^{3}) \Rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y) \Rightarrow + \infty.
$$
于是，在 $3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 中，由于：
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} x^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow – \infty} y^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$
因此：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (- \infty ,-1).
$$
三、当 $x \in (1, – \infty)$ 时，$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0$.
当 $x \rightarrow + \infty$ 时，由于 $x^{3}$ 和 $y^{3}$ 都远大于 $3x$, $3y$ 和 $2$, 因此：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0) \approx
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (x^{3} + y^{3} = 0).
$$
同理可知：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0) \approx
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} (3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0)
$$
又：
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{3}) \Rightarrow + \infty \Rightarrow
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x) \Rightarrow + \infty.
$$
因此：
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y^{3}) \Rightarrow – \infty.
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y) \Rightarrow – \infty.
$$
于是，在 $3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0$ 中，由于：
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$
$$
(\lim_{x \rightarrow + \infty} y^{2}) \Rightarrow + \infty;
$$
因此：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (1 , + \infty).
$$
三、当 $x \in (- 1, 1)$ 时，$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0$.
若取 $x = 0$, 则由 $x^{3} + y^{3} – 3x + 3y – 2 = 0$ 可知：
$$
0 < y < 1.
$$
当 $x = 0$ 时，又有：
$$
3x^{2} + 3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
3y^{2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} – 3 + 3 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
(3y^{2} + 3) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 3 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{3}{3y^{2} + 3}.
$$
又，当 $x = 0$ 时，$y > 0$, 于是：
$$
\frac{3}{3y^{2} + 3} > 0 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0, x \in (-1,1).
$$
四、综上可知
综上，有：
$$
\left\{\begin{matrix}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (- \infty ,-1);\\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} > 0, x \in (-1,1);\\
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} < 0, x \in (1 , + \infty).
\end{matrix}\right.
$$
于是：
- 当 $x = -1$ 时，函数 $y(x)$ 取得极小值，且极小值为 $y(-1) = 0$;
- 当 $x = 1$ 时，函数 $y(x)$ 取得极大值，且极大值为 $y(1) = 1$.