2016年考研数二第15题解析:无穷小、$e$ 抬起、两个重要无穷小

题目

求极限:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}.
$$

解析

方法一

观察可知,通过题目所给的式子可以构造出 $1^{\infty} = e$ 形式的极限:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 + (\cos 2x + 2x \sin x – 1)]^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 + (\cos 2x + 2x \sin x – 1)]^{\frac{1}{\cos 2x + 2x \sin x – 1} \cdot \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{1} \cdot \frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}} }.
$$

接着,由麦克劳林公式,可得:

$$
\cos 2x = 1 – \frac{(2x)^{2}}{2!} + \frac{(2x)^{4}}{4!} \Rightarrow
$$

$$
\cos 2x = 1 – 2x^{2} + \frac{2}{3}x^{4} + o(x^{4}).
$$

$$
x \sin x = x(x – \frac{1}{6}x^{3}) \Rightarrow
$$

$$
x \sin x = x^{2} – \frac{1}{6} x^{4} + o(x^{4}).
$$

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 – 2x^{2} + \frac{2}{3}x^{4} + 2x^{2} – \frac{1}{3} x^{4} – 1}{x^{4}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} x^{4}}{x^{4}} = \frac{1}{3}.
$$

即:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}}} = e^{\frac{1}{3}}.
$$

方法二

对于题目所给的式子 $\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}$, 我们也可以通过“$e$ 抬起法”对其进行处理:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\ln\lim_{x \rightarrow 0} (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \ln (\cos 2x + 2x \sin x)^{\frac{1}{x^{4}}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}} \ln (\cos 2x + 2x \sin x)} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos 2x + 2x \sin x)}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1 + \cos 2x + 2x \sin x – 1)}{x^{4}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}}}.
$$

接下来,我们就可以按照上面的方法一或者下面的方法三中处理式子 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}}$ 的方式继续完成剩余的计算。

方法三

对于式子 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}}$, 我们也可以使用不断进行洛必达运算的方法进行化简,不过,在化简的过程中要时刻注意当前式子是否还满足继续进行洛必达运算的条件:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x + 2x \sin x – 1}{x^{4}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2\sin 2x + 2 \sin x + 2 x \cos x}{4x^{3}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{-4\cos 2x + 2 \cos x + 2 \cos x – 2x \sin x}{12x^{2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{8\sin 2x – 2 \sin x – 2 \sin x – 2 \sin x – 2x \cos x}{24x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{8\sin 2x – 6 \sin x – 2x \cos x}{24x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{16\cos 2x – 6 \cos x – 2 \cos x + 2 x \sin x}{24} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\frac{16-6-2}{24} = \frac{1}{3}.
$$