2014年考研数二第09题解析

题目

$$
\int_{- \infty}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5} = ?
$$

解析

遇到这种带平方项的式子求积分,首先要考虑的就是拆分成低次的式子,因为次数越低越容易积分。

由于:

$$
(x+1)^{2} = x^{2} + 1 + 2x.
$$

所以:

$$
x^{2} + 2x + 5 = (x+1)^{2} + 4 \Rightarrow
$$

$$
\int_{- \infty}^{1} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 5} =
$$

$$
\int_{- \infty}^{1} \frac{1}{4 + (x+1)^{2}}d(x+1).
$$

又:

$$
(\arctan x)^{‘} = \frac{1}{1+x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
(\arctan \frac{x}{2})^{‘} = \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{1}{2} =
$$

$$
\frac{2}{4 + x^{2}}.
$$

注意:考研试卷中的求导函数或者求原函数的部分肯定会用到书中的公式,只不过,有些题目中不是直接使用原公式。这个时候,只要式子和对应的公式相似,就可以通过改变求导变量或者积分变量的方式往那个公式的形式上凑。

于是:

$$
\int_{- \infty}^{1} \frac{1}{4 + (x+1)^{2}}d(x+1) =
$$

$$
\frac{1}{2} \arctan (\frac{1+x}{2}) |_{- \infty}^{1} =
$$

$$
\frac{1}{2}[\arctan 1 – (- \frac{\pi}{2})] =
$$

$$
\frac{1}{2}[\arctan 1 + \frac{\pi}{2}] =
$$

$$
\frac{1}{2} [\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}] =
$$

$$
\frac{3 \pi}{8}.
$$

综上可知,正确答案为 $\frac{3 \pi}{8}$.

EOF