2019年考研数二第06题解析

题目

设函数 $f(x), g(x)$ 的二阶导函数在 $x=a$ 处连续,则 $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) – g(x)}{(x-a)^{2}}=0$ 是两条曲线 $y=f(x)$, $y=g(x)$ 在 $x=a$ 对应点处相切及曲率相等的 $?$.

$$A. 充分不必要条件$$

$$B. 充分必要条件$$

$$C. 必要不充分条件$$

$$D. 既不充分又不必要条件$$

解析

判断充分必要条件,需要记住以下口诀:

小充分大必要,前充分后必要。

对应点处相切就是该点处的切线重合,即斜率相等。通过比较该点处一阶导函数值是否相等即可判断出该点处是否相切。

而曲率表示的是曲线弯曲程度的大小,也就是曲线弯曲的快慢,即一阶导函数值变化的快慢。而要描述一阶导函数值变化的快慢可以使用二阶导函数,即通过比较该点处二阶导函数值是否相等就可以判断出该点处的曲率是否相等。

事实上,曲率的计算公式是:

$$
K = \frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}
$$

下面开始本题的推导。

由 $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) – g(x)}{(x-a)^{2}}=0$ 且 $x-a \neq 0$ 可知,必有:

$$
f(a) = g(a).
$$

又通过两次洛必达计算可得:

$$
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) – g(x)}{(x-a)^{2}}=0 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{‘}(x) – g^{‘}(x)}{2(x-a)^{2}} \Rightarrow \lim_{x \Rightarrow a} \frac{f^{”}(x) – g^{”}(x)}{2}.
$$

于是,我们有:

$$
f^{‘}(a) = g^{‘}(a); f^{”}(a) = g^{”}(a).
$$

进而可知,$f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=a$ 处相切且曲率相等,充分性条件满足。

但由 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=a$ 处相切且曲率相等以及曲率的计算公式 $K = \frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}$ 我们只能得到:

$$f(a)=g(a); f^{‘}(a)=g^{‘}(a);|f^{”}(a)|=|g^{”}(a)|.$$

当 $f^{”}(a) = g^{”}(a)$ 时,我们可以推出 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=a$ 处相切且曲率相等。

但当 $f^{”}(a) = – g^{”}(a)$ 时,我们只能推出:

$$
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-g(x)}{(x-a)^{2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{‘}(x) – g^{‘}(x)}{2(x-a)} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{”}(x) – g^{”}(x)}{2} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{2f^{”}(x)}{2} =f^{”}(a).
$$

但由题中信息我们无法获知是否有 $f^{”}(a)=0$, 因此,由 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x=a$ 处相切且曲率相等推不出 $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x) – g(x)}{(x-a)^{2}}=0$, 即必要性条件不满足。

综上可知,正确选项为 $A$.

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