2019年考研数二第05题解析

题目

已知平面区域 $D = \{ (x, y) | |x| + |y| \leqslant \frac{\pi}{2} \}$, 记:

$I_{1} =\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$, $I_{2}=\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$, $I_{3}=\iint_{D} (1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}) dxdy$, 则()

$$A. I_{3} < I_{2} < I_{1}$$

$$B. I_{2} < I_{1} < I_{3}$$

$$C. I_{1} < I_{2} < I_{3}$$

$$D. I_{2} < I_{3} < I_{1}$$

解析

由于 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 都是在积分区域 $D$ 上的积分,而且由于表示积分区域 $D$ 的式子 $|x| + |y| \leqslant \frac{\pi}{2}$ 中的 $x$ 和 $y$ 加不加负号都不影响式子的成立,因此这个积分区域 $D$ 是关于 $x$ 轴以及 $y 轴同时对称的。这个时候,我们只需要考虑被积函数在积分区域内的大小即可确定整个积分的大小。

在 $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 中,由于 $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geqslant 0$, 因此,$y_{1} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $y_{2} = \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 都是只在第一象限有图像,又因为,当 $t>0$ 时,$\sin t < t$, 所以:

$$
I_{2} < I_{1}.
$$

又因为:

$$
1- \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2 \sin^{2} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} = 2 \sin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} \cdot \sin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.
$$

$$
\sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2 \sin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} \cdot \cos \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.
$$

于是,比较 $I_{2}$ 与 $I_{3}$ 的大小就变成了比较 $\sin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}$ 与 $\cos \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}$ 的大小。

但是,$\sin t$ 的图像与 $\cos t$ 的图像是交错的,在不同的区间内有不同的大小。为此,我们必须确定 $\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}$ 的范围。也就是说,我们需要知道包含 $x$ 和 $y$ 的 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的取值范围。题中给出了有关 $x$ 和 $y$ 取值范围的式子只有下面这个:

$$
|x| + |y| \leqslant \frac{\pi}{2}
$$

但是,上面这个式子没有平方项,因此,必须加个平方运算,于是有:

$$
(|x| + |y|)^{2} \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2} \Rightarrow
$$

$$
x^{2} + y^{2} + 2|x||y| \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2} ①
$$

由于 $2|x||y|$ 是一个大于或者等于 $0$ 的变量,我们可以设这个变量为 $K$, 则 $①$ 式就变成了:

$$
x^{2} + y^{2} + K \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2}
$$

由于 $K \geqslant 0$, 因此,在小于或等于 $(\frac{\pi}{2})^{2}$ 这个条件不变的情况下,加上 $K$ 之后的 $x^{2} + y^{2} + K$ 中 $x$ 与 $y$ 的取值限制肯定会比不加 $K$ 的,单独的 $x^{2}+y^{2}$ 中 $x$ 与 $y$ 的取值限制要大,因为 $K \geqslant 0$ 会占用一部分 $x$ 和 $y$ 的取值空间,使得整个式子更快地等于 $(\frac{\pi}{2})^{2}$.

因此,$x^{2} + y^{2} \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2}$ 所对应的区域能够包括住 $x^{2} + y^{2} + 2|x||y| \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2}$ 所对应的区域。于是,我们可以在 $x^{2} + y^{2} \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2}$ 区域内讨论 $\sin \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}$ 与 $\cos \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}$ 的大小。

由于:

$$
x^{2} + y^{2} \leqslant (\frac{\pi}{2})^{2}
$$

所以:

$$
0 \leqslant \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2} \leqslant \frac{\pi}{4}.
$$

由于 $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$, 且由图像可知,在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 区间内,$\cos t$ 的图像在 $\sin t$ 图像的上方,那么,在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的子区间内,也就是题中积分区域 $D$ 所对应的区间内,$\cos t$ 的图像也一定在 $\sin t$ 图像的上面,于是:

$$
I_{3} < I_{2}.
$$

综上可知,$I_{3} < I_{2} < I_{1}$, 正确选项是:$A$.

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