2019年考研数二第07题解析

题目

设 $A$ 是 $4$ 阶矩阵,$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵,若线性方程组 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个向量,则 $r(A^{*}) = ?$

$$A. 0$$

$$B. 1$$

$$C. 2$$

$$D. 3$$

解析

由于 $AX=0$ 的基础解系中有 $2$ 个解向量,也就是说,将 $A$ 化成单位矩阵之后会出现 $2$ 个自由变量,那么非自由变量的个数,也就是 $A$ 的秩就是 $4-2=2$, 即 $r(A)=2 < 4-1$, 也就是说:

$r(A^{*})=0$

综上可知,正确选项为 $A$.

P.S. 关于关于矩阵的秩于其伴随矩阵的秩之间的关系,可以参考下面这篇文章:

《[线代]矩阵的秩于其伴随矩阵的秩之间的关系》

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