借助函数或数列的思想研究向量的变化过程

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$, $\boldsymbol{\alpha_{2}}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$（其中 $s \leqslant n$）是一组 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$

请证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。

难度评级：

二、解析

标准解法

假设，有一组数 $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots$, $x_{s}$, 使得下式成立：

$$
\textcolor{orange}{ x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{orange}{ \cdots } + \textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} = 0 } \tag{1}
$$

此时，若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关，则必有：

$$
\textcolor{yellow}{ x_{1} } = \textcolor{yellow}{ x_{2} } = \textcolor{yellow}{ \cdots } = \textcolor{yellow}{ x_{s} } = \textcolor{yellow}{ 0 } \tag{2}
$$

因此，我们接下来要做的就是判断上面的 $(2)$ 式是否成立。

首先，由题目可得：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{4}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$

于是：

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{k}
}
$$

其中，$k$ $=$ $2$, $\cdots$, $s$.

于是：

$$
\textcolor{pink}{
\boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{s}
} \tag{3}
$$

又由题可知：

$$
\boldsymbol{A} \textcolor{pink}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0
$$

进而可知：

$$
\boldsymbol{A}^{k-1} \textcolor{pink}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0 \tag{4}
$$

于是，结合 $(3)$ 式，可对 $(4)$ 式进行如下变形：

$$
\begin{aligned}
& \ \boldsymbol{A}^{k-1} \textcolor{pink}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0 \\
\Rightarrow & \ \boldsymbol{A}^{k-1} \textcolor{pink}{ \boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{1} } = 0 \\
\Rightarrow & \ \boldsymbol{A}^{s-1} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A}^{k-1} \boldsymbol{\alpha}_{1} } = 0 \\
\Rightarrow & \ \boldsymbol{A}^{s-1} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}_{k} } = 0
\end{aligned}
$$

即（其中，$k$ $=$ $2$, $\cdots$, $s$）：

$$
\begin{aligned}
& \ \textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{k} = 0
} \\ \\
\Rightarrow & \ \begin{cases}
& \boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{ \textcolor{orange}{2} } = 0 \\
& \boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{ \textcolor{orange}{3} } = 0 \\
& \vdots \\
& \boldsymbol{A}^{s-1} \boldsymbol{\alpha}_{ \textcolor{orange}{s} } = 0 \\
\end{cases}
\end{aligned}
$$

接着，在 $(1)$ 式 $\textcolor{orange}{ x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} }$ $+$ $\textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} }$ $+$ $\textcolor{orange}{ \cdots }$ $+$ $\textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} }$ $\textcolor{orange}{ = }$ $\textcolor{orange}{ 0 }$ 的等号两边左乘 $\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{A}^{s-1} }$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \left( \textcolor{orange}{ x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{orange}{ \cdots } + \textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} } \right) \textcolor{orange}{ = } \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \left( \textcolor{orange}{ x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{orange}{ \cdots } + \textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} } \right) \textcolor{orange}{ = } 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \textcolor{orange}{x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}} + \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \textcolor{orange}{x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}} + \textcolor{orange}{\cdots} + \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \textcolor{orange}{x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}} = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{1}} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-1}} \cdot \textcolor{orange}{ \boldsymbol{\alpha}_{1}} + \textcolor{gray}{ x_{2} \boldsymbol{A}^{s-1} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ x_{s} \boldsymbol{A}^{s-1} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{1}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A}^{s-1} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{gray}{ 0 } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{1}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } + \textcolor{gray}{ 0 } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{1}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0
\end{aligned}
$$

由于 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ $\neq$ $0$, $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $s$, 所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{1} = 0
}
$$

接着，在 $\textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} }$ $+$ $\textcolor{orange}{ \cdots }$ $+$ $\textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} }$ $\textcolor{orange}{ = }$ $\textcolor{orange}{ 0 }$ 的等号两边左乘 $\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{A}^{s-2} }$, 得：

$$
\begin{aligned}
& \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot \left( \textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{orange}{ \cdots } + \textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} } \right) \textcolor{orange}{ = } \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot \left( \textcolor{orange}{ x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{orange}{ \cdots } + \textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} } \right) \textcolor{orange}{ = } 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot \textcolor{orange}{x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}} + \textcolor{orange}{\cdots} + \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot \textcolor{orange}{x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}} = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{A}^{s-2}} \cdot \textcolor{orange}{ \boldsymbol{\alpha}_{2}} + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ x_{s} \boldsymbol{A}^{s-1} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A}^{s-2} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{2} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A}^{s-2} \cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{A}^{s-1} \cdot \boldsymbol{\alpha}_{1} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } = 0 \\
\Rightarrow & \ \textcolor{orange}{x_{2}} \textcolor{magenta}{ \boldsymbol{\alpha}_{s} } = 0
\end{aligned}
$$

由于 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ $\neq$ $0$, $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $s$, 所以：

$$
\textcolor{springgreen}{
x_{2} = 0
}
$$

类似的，通过在 $\textcolor{orange}{ x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3} }$ $+$ $\textcolor{orange}{ \cdots }$ $+$ $\textcolor{orange}{ x_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s} }$ $\textcolor{orange}{ = }$ $\textcolor{orange}{ 0 }$ 的等号两边左乘 $\textcolor{orangered}{ \boldsymbol{A}^{s-3} }$, 可知 $\textcolor{springgreen}{x_{2} = 0}$.

依次类推，可知下面的 $(2)$ 成立：

$$
\textcolor{yellow}{ x_{1} } = \textcolor{yellow}{ x_{2} } = \textcolor{yellow}{ \cdots } = \textcolor{yellow}{ x_{s} } = \textcolor{yellow}{ 0 } \tag{2}
$$

因此，向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关得证。

峰式解法

可以看到，前面的标准解法相当复杂，如果这只是考试中的一道选择题或者填空题，用上面的标准解法就会花费大量的时间。

因此，接下来，我们使用多次调整约束条件的“峰式解法”求解本题。

What is 峰式解法？

如果要求解的问题是锁在保险箱中的 Flag, 那么，传统的解法就是一步步的尝试正确的解锁密码，然后拿出 Flag. 而峰式解法则不追求直接拿出 Flag, 而是通过一些旁敲侧击的方式，判断出箱子中的 Flag 大致长什么样子——例如，什么材质？多大的重量？等等

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首先，由题目的已知条件 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1}$ $=$ $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O} \\
& \alpha_{1} \neq 0, \ \alpha_{2} \neq 0, \ \cdots, \ \alpha_{s-1} \neq 0 \\
\end{aligned}
}
$$

且：

$$
\textcolor{yellow}{
\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = 0
}
$$

也就是说，题目要告诉我们的是：

1. 有一个初试的向量 $\boldsymbol{ \alpha }_{1}$;
2. 初试向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 每左乘一次矩阵 $\boldsymbol{A}$ 都会得到一个新的向量：$\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$;
3. 最后一个向量 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 是一个零向量。

那么，我们可以知道，从非零向量 $\boldsymbol{ \alpha }_{1}$ 到零向量 $\boldsymbol{ \alpha }_{s}$, 一定是一个变化的过程。并且，在这个变化过程中，零元素一定在增加，非零元素一定在减少，例如，如果 $s = 4$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $=$ $\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}$, 则变化的过程可以为：

Tip

根据矩阵乘法的左行右列原则，左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ 会导致列向量 $\boldsymbol{ \alpha }_{i}$ 的行受影响，也就是存在一个一个改变列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ 中元素的可能，而不存在一次性改变列向量 $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ 中所有元素的可能。（$i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $s$）

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$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\textcolor{orange}{0}
\end{pmatrix} \Rightarrow \\ \\
& \boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0}
\end{pmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}_{4} = \begin{pmatrix}
1 \\
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0}
\end{pmatrix} \Rightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{4} = \begin{pmatrix}
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0} \\
\textcolor{orange}{0}
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

很明显，上面的变化是连续进行（每一个向量都与其他向量不一样）的，因此，得到的向量一定两两线性无关。

那么，接下来我们要解决的唯一一个问题就是：从向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 到向量 $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 的变化，有没有可能不是连续变化的，也就是说，有没有可能存在两个相邻或者不相邻的向量其实是相等（线性相关）的？

答案是不可能。原因在于，我们每次做的操作是一样的，就是左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$, 如果存在前后两个相邻或者不相邻的向量相等，那么就意味着同样的操作导致得到的向量 $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 产生了“返回”，从而产生了两个及以上相同的列向量——如果是这样的话，那么我们就不能保证无论 $s$ 取什么值，一定有 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ $=$ $0$, 因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可能恰好和另外一个非零向量相等。

简单地说，由于从 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 及 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 是一个变化条件（左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$）单一的变化过程，且最终得到的 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 需要是一个零向量，因此，从 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 及 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 的变化过程一定是“单调”的—— 在 这 里 ，我 们 实 际 上 借 助 了 函 数 或 者 说 数 列 中 周 期 性 和 单 调 性 的 思 想 ，来 研 究 向 量 的 变 化 过 程 。

于是可知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。

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