平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系

一、题目

请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：

$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$

难度评级：

二、解析

§2.1 证明极限的存在性

如果一个数列是单调有界数列，则该数列的极限一定存在。

我们首先来证明题目所给数列的单调性。

由于：

$$
x_{1} = \sqrt{2} > 0
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
x_{2} & = \sqrt{2+x_{1}} \\ \\
& \Rightarrow \sqrt{2+x_{1}} > \sqrt{2} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{yellow}{x_{2} > x_{1}}
\end{aligned}
$$

进而可知：

$$
\begin{aligned}
x_{3} & = \sqrt{2+x_{2}} \\ \\
& \Rightarrow \sqrt{2+x_{2}} > \sqrt{2} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{yellow}{x_{3} > x_{2}}
\end{aligned}
$$

于是，由数学归纳法可知，若 $k$ $=$ $2$, $3$, $\cdots$, 则：

$$
x_{k} > x_{k-1}
$$

于是可知，数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 是一个单调递增的数列。

接着，我们来判断数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 是否是一个有界数列。

首先，我们知道：

$$
\begin{aligned}
x_{1} & = \sqrt{2 + \textcolor{orange}{0} } < \sqrt{2 + \textcolor{orange}{2} } \\ \\
x_{2} & = \sqrt{2 + \textcolor{orange}{\sqrt{2} }} < \sqrt{2 + \textcolor{orange}{2} } \\ \\
x_{3} & = \sqrt{2 + \textcolor{orange}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} } < \sqrt{2 + \textcolor{orange}{2} }
\end{aligned}
$$

于是，我们可以合理猜测下面的式子是否成立：

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} = \sqrt{2 + \textcolor{orange}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}}} } \leqslant \sqrt{2 + \textcolor{orange}{2} }
$$

由于 $x_{1}$ $>$ $0$, 且数列 $\{ x_{n} \}$ 是一个单调递增的数列，所以，数列 $\{ x_{n} \}$ 中的所有项都是大于 $0$ 的。

又根据“ 平 方 运 算 不 会 改 变 大 于 或 等 于 $0$ 的 数 字 间 的 大 小 关 系 ”这一定理，所以：

$$
\begin{aligned}
& \left( \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}}} \right)^{\textcolor{orangered}{2}} \leqslant \left( \sqrt{2 + 2} \right)^{\textcolor{orangered}{2}} \\ \\
& \Leftrightarrow 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}} \leqslant 4 \\ \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}} \leqslant 2 \\ \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}} \right) ^{\textcolor{orangered}{2}} \leqslant 2^{\textcolor{orangered}{2}} \\ \\
& \Leftrightarrow 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}} \leqslant 4 \\ \\
& \vdots \\ \\
& \Leftrightarrow \sqrt{2+\sqrt{2}} \leqslant 2 \\ \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{2+\sqrt{2}} \right)^{\textcolor{orangered}{2}} \leqslant 2^{\textcolor{orangered}{2}} \\ \\
& \Leftrightarrow 2 + \sqrt{2} \leqslant 4 \\ \\
& \Leftrightarrow \textcolor{yellow}{ \sqrt{2} \leqslant 2 }
\end{aligned}
$$

由于 $\sqrt{2}$ $\leqslant$ $2$ 显然成立，所以，下面的不等式一定成立：

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} = \sqrt{2 + \textcolor{orange}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\cdots}}}}} } \leqslant \sqrt{2 + \textcolor{orange}{2} }
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} \leqslant 2
}
}
$$

所以，数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 是一个单调递增且有界的数列，因此，数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限一定存在。

§2.2 求解极限值

设：

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n} = \lim_{ n \rightarrow \infty } x_{n-1} = A
$$

又因为：

$$
x_{n} = \sqrt{2+x_{n-1}}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
A = \sqrt{2 + A} \\ \\
& \Leftrightarrow A^{2} = 2 + A \\ \\
& \Leftrightarrow \begin{cases}
\textcolor{springgreen}{A = 2} \\
\textcolor{orangered}{A = -1} \rightarrow \text{舍去}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

综上可知，数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限为 $2$

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