考研数学中需要注意的三种特殊的函数

一、前言

在高等数学（考研数学）中，我们为了判断某些题目，可能需要举一些反例，而在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们带来三种比较特殊的函数，这些函数也是我们在寻找反例的时候，很容易用上的工具。

二、正文

狄利克雷（Dirichlet）函数

根据无理数和有理数的定义，由于在任意一个线段上都存在无数个无理数和有理数，但是，有理数和有理数之间，或者无理数和无理数之间都不是连续的，因此，我们有如下迪利克雷函数：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = \begin{cases}
1, & x \ \text{为有理数}; \\
0, & x \ \text{为无理数}
\end{cases}
}
$$

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 迪利克雷函数的 特 点 ：

1. 迪利克雷函数是一个偶函数；
2. 迪利克雷函数是一个周期函数，但是，我们无法确定其最小正周期，因为任意一个正有理数都可以作为其周期值；
3. 迪利克雷函数处处不连续，处处极限不存在，处处不可导；
4. 我们无法画出迪利克雷函数的函数图像，但是其函数图象真实存在；

绝对值函数

绝对值函数的一般示例：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
f(x) = & |x| \\ \\
= & \begin{cases}
x, & x \geqslant 0; \\
-x, & x < 0 \end{cases} \\ \\ = & \begin{cases} x, & x > 0; \\
-x, & x \leqslant 0
\end{cases}
\end{aligned}
}
$$

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 绝对值函数的 特 点 ：

1. 绝对值函数一般可以写成分段函数，而且在分段点处一般是不可导的；
2. 绝对值函数的定义域可以是 $(- \infty, + \infty)$, 但是值域一般是 $[0, + \infty)$.

符号函数

符号函数一般会使用除了常见的加、减、乘、除、平方、开方等运算符号之外的其他符号完成函数的定义，例如：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
f(x) = & \mathbf{sgn} x \\ \\
= & \begin{cases}
-1, & x < 0; \\ 0 & x = 0; \\ 1, & x > 0
\end{cases}
\end{aligned}
}
$$

或者用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，也就是 $x$ 的整数部分：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x) = \left[ x \right]
}
$$

$\textcolor{springgreen}{\Large{\boldsymbol{\star}}}$ 符号函数的 特 点 ：

1. 符号函数一般都是不完全连续的（可能存在很多跳跃间断点）。

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