空集和空集及任何集合相互独立，全集与全集及任何集合也相互独立

一、题目

[A]. 两两独立，但不一定三三独立

[B]. 全部相互独立 ^[Note-02]

[C]. 一定不两两独立

[D]. 不一定两两独立

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{aligned}
& P ( A \cup B ) = 0 \\ \\
\Rightarrow & A \cup B = \varnothing \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
A = \varnothing \\
B = \varnothing
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\bar{A} = \Omega \\
\bar{B} = \Omega
\end{cases}
\end{aligned}
$$

Tip-01

如果两个集合的并集（$\cup$）等于空集，就意味着这两个集合在合并之后都没能贡献出来任何“内容”，也就是说，这两个集合一定都是空集。

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Tip-02

空集（$\varnothing$）的对立集合是全集（$\Omega$）：$\bar{\varnothing}$ $=$ $\Omega$；
全集（$\Omega$）的对立集合是空集（$\varnothing$）：$\bar{\Omega}$ $=$ $\varnothing$。

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由于：

1. 空集（$\varnothing$）和另一个空集之间是相互独立的，空集和其他集合之间也都是相互独立的。
   空集（$\varnothing$）与任何集合都相互独立，可以表述为：
   $P ( \varnothing )$ $=$ $P ( \varnothing A )$ $=$ $P ( \varnothing ) P ( A )$ $=$ $P ( \varnothing)$ $=$ $0$
2. 全集（$\Omega$）和另一个全集之间是相互独立的，全集和其他集合之间也都是相互独立的。
   全集（$\Omega$）与任何集合都相互独立，可以表述为：
   $P ( A )$ $=$ $P ( \Omega A )$ $=$ $P ( \Omega ) P ( A )$ $=$ $P ( A )$

所以，以下标注对号的集合之间，都是相互独立的：

$$
\begin{aligned}
\bar{A} \Leftrightarrow \bar{B} \quad & \textcolor{springgreen}{\checkmark} \\
\bar{A} \Leftrightarrow \bar{C} \quad & \textcolor{springgreen}{\checkmark} \\
\bar{B} \Leftrightarrow \bar{C} \quad & \textcolor{springgreen}{\checkmark} \\
\bar{A} \Leftrightarrow \bar{B} \Leftrightarrow \bar{C} \quad & \textcolor{springgreen}{\checkmark} \\
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

Note-01

事件 $\bar{A}$ 是事件 $A$ 的对立事件；
事件 $\bar{B}$ 是事件 $B$ 的对立事件；
事件 $\bar{C}$ 是事件 $C$ 的对立事件。

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Note-02

如果事件 $A$ 和事件 $B$ 满足 $P(AB)$ $=$ $P(A) P(B)$, 则称事件 $A$ 与 事件 $B$ 相互独立。

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三、后记

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