一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明:
$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
证明方法一:拉格朗日中值定理
令:
$$
f ( x ) = \ln x
$$
则,由拉格朗日中值定理可知,至少存在一点 $\xi \in ( a, b )$, 可使下式成立:
$$
\frac{\ln b−\ln a}{b−a} = \left(\ln x\right)^{\prime}\left|\right._{x = \xi } = \frac{1}{\xi }
$$
Note
由于严格地说 “$\ln \xi$” 是一个数字,求导之后得零,所以才使用上面的写法。如果是在考试的时候,不需要在答题卡上反映推导过程的话,可以直接写:$\frac{\ln b−\ln a}{b−a}$ $=$ $\left(\ln \xi \right)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{\xi }$
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又因为在 $\ln x$ 中一定有 $x > 0$, 所以:
$$
\xi > 0, \ a > 0
$$
且:
$$
a < \textcolor{orangered}{ \xi < b }
$$
对上面的不等式取倒数,得:
$$
\frac{1}{a} > \textcolor{orangered}{ \frac{1}{\xi} > \frac{1}{b} }
$$
又因为 $b$ $>$ $a$, 所以,由这篇文章中的结论可知:
$$
\frac{1}{\xi} > \frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
进而可得:
$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
}
}
$$
综上可知,题目得证
证明方法二:构造函数
Tip
在这里构造函数的时候,需要将原式中的 $a$ 或者 $b$ 其中之一看作自变量,另一个看作常数处理。
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在下面的解法中,我们是将 “$b$” 看作了自变量,”$a$” 看作了常数。当然,如果反过来,将 “$a$” 看作自变量,”$b$” 看作常数也是可以的,对应的解法与下面类似。
由 $\frac { \ln b – \ln a } { b – a }$ $>$ $\frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$, 把其中的 “$b$” 替换成 “$x$”, 得(其中,$x$ $>$ $a$ $>$ $0$):
$$
\frac { \textcolor{springgreen}{\ln x} – \ln a } { \textcolor{springgreen}{x} – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + \textcolor{springgreen}{x ^ { 2 } } } \tag{1}
$$
于是,若令函数:
$$
f ( x ) = \left( \textcolor{springgreen}{x ^ { 2 } } + a ^ { 2 } \right) ( \textcolor{springgreen}{ \ln x } – \ln a ) – 2 a ( \textcolor{springgreen}{x} – a ) \tag{2}
$$
于是,要使 $(1)$ 式成立,就是要使 $(2)$ 式满足:
$$
f(x) > 0
$$
因此,我们接下来要做的就是判断函数 $f(x)$ 的极值点和单调性,看一看是否满足 $f(x)$ $>$ $0$.
首先,对函数 $f(x)$ 求一阶导:
$$
\begin{aligned}
f ^ { \prime } ( x ) \\ \\
& = 2 x ( \ln x – \ln a ) + \left( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) \frac { 1 } { x } – 2 a \\ \\
& = 2 x ( \ln x – \ln a ) + \frac { ( x – a ) ^ { 2 } } { x }
\end{aligned}
$$
因此,当 $x$ $\in$ $(a, + \infty)$ 时,一定有:
$$
f^{\prime} (x) > 0
$$
所以,此时的 $f ( x )$ 严格单调递增。
又因为 $x$ $=$ $a$ 时:
$$
f ( a ) = 0
$$
所以当 $x$ $\in$ $(a, + \infty)$ 时, 有:
$$
f ( x ) > f ( a ) = 0
$$
即:
$$
\left( x ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln x – \ln a ) – 2 a ( x – a ) > 0
$$
之后,令 $x = b$, 则:
$$
\left( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln b – \ln a ) – 2 a ( b – a ) > 0 \Rightarrow
$$
$$
\left( b ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) ( \ln b – \ln a ) > 2 a ( b – a ) \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
}
}
$$
综上可知,题目得证
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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