2024年考研数二第09题解析:抽象矩阵秩的特征

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $A$ 为 4 阶矩阵, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 若 $A\left(A-A^{*}\right)$ $=$ $O$, 且 $A \neq A^{*}$, 则 $r(A)$ 取值为 ( )

(A) 0 或 1
(B) 1 或 3

(C) 2 或 3
(D) 1 或 2

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一

由于 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{A}^{*}$, 因此:

$$
\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{*} \neq \boldsymbol{O}
$$

又由于 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{*}\right)=\boldsymbol{O}$, 若令 $x$ $=$ $\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{*}$, 则意味着下面的齐次线性方程组有非零解 $x \neq 0$:

$$
\boldsymbol{A x}=0
$$

因此,为了使上式成立,必须有:

$$
\begin{aligned}
|\boldsymbol{A x}| = 0 & \Rightarrow \\
|\boldsymbol{A}| |\boldsymbol{x}| = 0 & \Rightarrow \\
|\boldsymbol{x} \neq 0| & \Rightarrow \\
& |\boldsymbol{A}|=0
\end{aligned}
$$

又因为:

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{A} – \boldsymbol{A}^{*}\right) = \boldsymbol{O} \\
& \Rightarrow \boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{O} \\
& \Rightarrow \boldsymbol{A}^{2}-|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} = \boldsymbol{O} \\
& \Rightarrow \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}
\end{aligned}
$$

接着,由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知,$4$ 阶矩阵 $A$ 的秩满足:

$$
r(\boldsymbol{A}) \leq 2
$$

同时,若 $r(\boldsymbol{A})=0$, 则:

$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{O}
$$

为了满足题意,只能有:

$$
\begin{cases}
r(\boldsymbol{A})=1 \\
r(\boldsymbol{A})=2
\end{cases}
$$

综上可知,本题应选 $\mathrm{D}$.

解法二

由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知:

$$
r(A)+r\left(A-A^{*}\right) \leq 4 \tag{1}
$$

又由 $A \neq A^{*}$ 可知:

$$
A – A^{*} \neq O \Rightarrow
$$

$$
r\left(A-A^{*}\right) \geq 1 \tag{2}
$$

结合 (1) 式和 (2) 式可知:

$$
1 \leq r(A) \leq 3 \tag{3}
$$

即:

$$
|A| = 0
$$

又由题目已知条件 $A(A – A^{*}) = O$ 可知:

$$
A^{2}=A A^{*}=|A| E = O
$$

因此,同样由《平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2》这篇文章可知:

$$
r(A) \leq 2 \tag{4}
$$

结合 (3) 式和 (4) 式可知:

$$
1 \leq r(A) \leq 2
$$

因此,本题应选 D.


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