低阶无穷小可以看作高阶无穷小的无穷大

一、题目

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x \sin x ^ { 2 } – 2 \sin x + 2 \sin x \cos x } { x ^ { 4 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x \sin x ^ { 2 } – 2 \sin x + \sin 2 x } { x ^ { 4 } }
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac{x \left( x ^ { 2 } – \frac { 1 } { 6 } x ^ {{ 6 } } \right) – 2 \left( x – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } \right) + \left( 2 x – \frac { 4 } { 3 } x ^ { 3 } \right)} { x ^ { 4 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 3 } – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 7 } – 2 x + \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + 2 x – \frac { 4 } { 3 } x ^ { 3 } } { x ^ { 4 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 3 } – x ^ { 3 } – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 7 } } { x ^ { 4 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \textcolor{orangered}{\frac { – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 7 } } { x ^ { 4 } }} \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac{-1}{6} x^{3} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

Tip

在上面的计算中，当我们计算到 $\textcolor{orangered}{\frac { – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 7 } } { x ^ { 4 } }}$ 这一步的时候会发现，该式子的分子是分母的高阶无穷小，也就是说，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，该式子的分母其实是比分子“大”很多的，因此，我们可以认为：$\lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { – \frac { 1 } { 6 } x ^ { 7 } } { x ^ { 4 } }$ $=$ $\lim _{ x \rightarrow 0 } \frac{0}{\infty}$ $=$ $0$.

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