2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c, 其中 k,c 为常数,且 c \neq 0, 则 ( )

( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.

( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.

( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.

( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.

解析

解答本题需要用到一个等价无穷小替换:

x - \arcsin x \sim \frac{1}{3}x^{3}.

于是我们有:

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x^{k}} = c.

由于 c 是常数,\frac{1}{3}x^{3}x^{k} 的同阶无穷小。

于是,k=3,c=\frac{1}{3}.

综上可知,正确答案是:D

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