2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 $f(x)$ 具有 $2$ 阶导数,$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,$ 则在区间 $[0,1]$ 上 ( )

( A ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x).$

( B ) 当 $f'(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

( C ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \geqslant g(x)$.

( D ) 当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x) \leqslant g(x)$.

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 $1$ 阶导和 $2$ 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

$1$ 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 $1$ 阶导 $f'(x)$ 大于 $0$, 则原函数 $f(x)$ 单调递增;若 1 阶导 $f'(x)$ 小于 $0$, 则原函数 $f(x)$ 单调递减。

$2$ 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 $2$ 阶导 $f”(x)$ 大于 $0,$ 则原函数 $f(x)$ 在此区间内的图像是凹的;若 $2$ 阶导 $f”(x)$ 小于 $0,$ 则原函数 $f(x)$ 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

两点式(已知两点的坐标)

$$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=$$

$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.$$

点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)

$$y-y_{1}=k(x-x_{1}).$$

截距式(已知函数在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距)

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .$$

斜截式(已知斜率和函数在 $y$ 轴的截距)

$$y=k x + b.$$

解法一

$$g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow$$

$$g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow$$

$$g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow$$

$$g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).$$

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

$$\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow$$

$$y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).$$

于是,我们知道,区间 $[0,1]$ 上的函数 $g(x)$ 其实就是点 $(0,f(0))$ 和点 $(1,f(1))$ 之间的连线。

又由于在区间 $[0,1]$ 上,当 $f”(x) \geqslant 0$ 时,$f(x)$ 是一个凹函数,即 $f(x) \leqslant g(x)$.

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 $f(x)$ 和 $g(x)$ 做差,根据结果是大于 $0$ 还是小于 $0$ 来判断他们的大小关系,于是有:

$$F(x)=f(x)-g(x)=$$

$$f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=$$

$$f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.$$

于是有:

$$F(0)=f(0)-f(0) \times 1 – 0 = 0;$$

$$F(1) = f(1) – f(0) \times 0 -f(1) = 0.$$

即:

$$F(0)=F(1)=0.$$

又由于题目中提到了 $f(x)$ 存在 $2$ 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

$$F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1);$$

$$F”(x)=f”(x).$$

因此,若 $f”(x) \geqslant 0,$ 则 $F”(x) \geqslant 0,$ 即 $F(x)$ 为凹函数,因此有:

$$F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow$$

$$F(x) \leqslant 0 \Rightarrow$$

$$f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow$$

$$f(x) \leqslant g(x).$$

因此,正确的选项是:D

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