2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 f(x) 具有 2 阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x, 则在区间 [0,1] 上 ( )

( A ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( B ) 当 f'(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

( C ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \geqslant g(x).

( D ) 当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) \leqslant g(x).

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 1 阶导和 2 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

1 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 1 阶导 f'(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 单调递增;若 1 阶导 f'(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 单调递减。

2 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 2 阶导 f''(x) 大于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凹的;若 2 阶导 f''(x) 小于 0, 则原函数 f(x) 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

  • 两点式(已知两点的坐标)
\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.
  • 点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)
y-y_{1}=k(x-x_{1}).
  • 截距式(已知函数在 x 轴和 y 轴上的截距)
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .
  • 斜截式(已知斜率和函数在 y 轴的截距)
y=k x + b .

解法一

g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).

于是,我们知道,区间 [0,1] 上的函数 g(x) 其实就是点 (0,f(0)) 和点 (1,f(1)) 之间的连线。

又由于在区间 [0,1] 上,当 f''(x) \geqslant 0 时,f(x) 是一个凹函数,即 f(x) \leqslant g(x),

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 f(x)g(x) 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 f(x)g(x) 做差,根据结果是大于 0 还是小于 0 来判断他们的大小关系,于是有:

F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.

于是有:

F(0)=f(0)-f(0) \times 1 - 0 = 0; F(1) = f(1) - f(0) \times 0 -f(1) = 0.

即:

F(0)=F(1)=0.

又由于题目中提到了 f(x) 存在 2 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1); F''(x)=f''(x).

因此,若 f''(x) \geqslant 0,F''(x) \geqslant 0,F(x) 为凹函数,因此有:

F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow F(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x) \leqslant g(x).

因此,正确的选项是:D

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