遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式

一、题目

(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点

(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点

(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点

(D). 以上说法都不对

难度评级：

二、解析

分析

计算

由题可知：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}F(x)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ \\ & =f^{\prime }(0)\end{array}$$

又因为：

$$f^{\prime }(0)\ne 0$$

所以：

$$\underset{x\to 0}{lim}F(x)\ne 0$$

然而，当 $x$ $=$ $0$ 的时候：

$$F(0)=f(0)=0$$

所以，函数 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处的极限值存在，但和 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处的函数值 $F(0)$ 不相等，因此 $x$ $=$ $0$ 是函数 $F(x)$ 的第一类间断点，本 题 应 选 B