一、题目
已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点
(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点
(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点
(D). 以上说法都不对
难度评级：
二、解析 
分析
本题考查我们的是，$x$ $=$ $0$ 是否是函数 $F(x)$ 的间断点，如果是间断点，又是第几类间断点。同时，我们可以看到，函数 $F(x)$ 是一个分段函数，分别对应着 $\frac{f(x)}{x}$ 和 $f(0)$.
要判断 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处的间断点，就是要判断 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 附近的极限值 $\textcolor{springgreen}{ \lim \limits_{x \rightarrow 0} F(x) }$ 是否存在——极限值不存在就是第二类间断点；
以及如果极限值存在，则该极限值与该点处的函数值 $\textcolor{springgreen}{ F(0) }$ 是否相等——极限值存在且相等就是连续点，极限值存在且不相等就是第一类间断点。
同时，由于题目给出了 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 这一点处的导数值 $f^{\prime}(0)$, 且有一个明显的可以用导数定义公式的式子：$\textcolor{red}{\boldsymbol{ \frac{f(x)}{x} }}$, 因此，我们在计算的时候，要想办法利用一点处导数的定义公式，将这个已知条件利用进来。
计算
由题可知：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} F(x) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}} \\ \\
& = f^{\prime}(0)
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
f^{\prime}(0) \neq 0
$$
所以：
$$
\textcolor{springgreen}{
\lim \limits_{x \rightarrow 0} F(x) \neq 0
}
$$
然而，当 $x$ $=$ $0$ 的时候：
$$
\textcolor{springgreen}{
F(0) = f(0) = 0
}
$$
所以，函数 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处的极限值存在，但和 $F(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处的函数值 $F(0)$ 不相等，因此 $x$ $=$ $0$ 是函数 $F(x)$ 的第一类间断点，本 题 应 选 B 