利用单调函数的定义判断复合函数的单调性

一、题目

难度评级：

二、解析

由函数图像可知（详见本文附录一），在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内, $\sin x$ 单调增加, $\cos x$ 单调减少。

于是，对于 $x_1,x_2\in (0,\frac{\pi }{2})$, 且 $x_1<x_2$, 则由于 $\sin x$ 单调增加，有：

$$\sin x_1<\sin x_2$$

接着，由于 $\cos x$ 单调递减，有：

$$\cos (\sin x_1)>\cos (\sin x_2)\Rightarrow$$

$$f(x_1)>f(x_2),x_1<x_2$$

因此，函数 $f(x)$ 是一个单调递减的函数。

类似的，由于：

$$\cos x_1>\cos x_2$$

因此：

$$\sin (\cos x_1)>\sin (\cos x_2)\Rightarrow$$

$$g(x_1)>g(x_2),x_1<x_2$$

因此，函数 $g(x)$ 是一个单调递减的函数。

综上可知，本题应选 C .

根据上面的计算，我们可以对复合运算下的函数单调性做一个总结，详细内容见《复合运算对单调性和奇偶性的影响》这篇笔记。

附录一

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