2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

曲线 y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4} 的拐点是 ( )

( A ) (1,0).

( B ) (2,0).

( C ) (3,0).

( D ) (4,0).

解析

本题主要涉及求导,曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判定,拐点的定义,拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 上连续,若对 I 上任意两点 x_{1}, x_{2}, 恒有:

f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<(>)\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},

则称曲线 y=f(x) 在区间 I 上是向凹(凸)的.

曲线凹凸性的判定如下:

设函数 f(x)[a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有二阶导数,那么:

① 如果在 (a,b)f''(x)>0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凹的;

② 如果在 (a,b)f''(x)<0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凸的.

拐点的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 内连续,x_{0}I 的内点,如果曲线 y=f(x) 在经过点 (x_{0},f(x_{0})) 时凹凸性发生了改变,则称点 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下:

第一充分条件:若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左右两侧邻域异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x)的拐点.

第二充分条件:设 f(x)x=x_{0} 的某邻域内有三阶导数,且 f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\neq0, 则 (x_{0},f(x_{0}))f(x) 的拐点.

回到本题。本题的原式是:

y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}.

观察可知,当 x=1,2,3,4 时都可以使 y=0, 而我们在找拐点的时候,最重要的就是找到哪个点是大于零的,哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的,上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数,但是上面的式子太长,求导之后会更长,为了方便计算,尽可能避免出错,我们作如下约定:

令:

A=(x-1);

B=(x-2)^{2};

C=(x-3)^{3};

D=(x-4)^{4}.

之后,我们有:

原式=y=ABCD.

于是我们有:

y'=A'BCD+A(BCD)';

y''=A''BCD+A'(BCD)'+A'(BCD)'+A(BCD)'';

y'''=A'''BCD+A''(BCD)'+A''(BCD)'+A'(BCD)''+A''(BCD)'+A'BCD''+A'(BCD)''+A(BCD)''';

y'=0, 则有:

y'(2)=y'(3)=y'(4)=0;

y'(1)\neq0. (x=1 对应 A, 但是 A' 是一个常数,不受 x 的影响,因此 x=1 不会使 y'=0, 以下计算过程中的判断与此类似.)

y''=0, 则有:

y''(3)=y''(4)=0;

y''(1)\neq0, y''(2)\neq0.

y'''=0, 则有:

y'''(4)=0;

y'''(1)\neq0, y'''(2)\neq0, y'''(3)\neq0.

通过上面的计算我们知道,y''(3)=0y'''(3)\neq0, 因此,根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件,点 (3,0) 是曲线 y 的拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

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