两个相等的无穷小量的等价无穷小也相等

一、题目

已知 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$, 其中 $|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$ 是 ( ).

二、解析

根据常用的等价无穷小公式，可知：

$$
\cos x-1 \sim \frac{-1}{2} x^{2}
$$

又由题意可知，$\alpha(x)$ 也是一个无穷小量，因此：

$$
x \sin \alpha(x) \sim x \alpha(x)
$$

于是，由 $\cos x-1$ $=$ $x \sin \alpha(x)$ 可知：

$$
\frac{-1}{2} x^{2} = x \alpha(x) \Rightarrow
$$

$$
\alpha(x) = \frac{-1}{2} x
$$

综上可知，$\alpha(x)$ 为 $x$ 的同阶而非等价的无穷小，正确选项为 C.

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