当分子中包含无穷多个因式的时候，该怎么计算极限？

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } = ?
$$

难度评级：

二、解析

注意：
1. 在考研数学中，这类“分子中包含无穷多个因式”的题目一般都是有规律可循的；
2. 本题中用到的等价无穷小公式为（$x \rightarrow 0$ 时）：$(1 + x)^{a} – 1 \sim ax$

$$
\begin{aligned}
I = & \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(1-x) (1-\sqrt{x}) \cdots (1- \sqrt[n]{x})}{ (1-x)^{n} } \\
= & \lim_{(x-1) \rightarrow 0} \frac{(1-x) [1-\sqrt{1 + (x-1)}] \cdots (1- \sqrt[n]{1 + (x-1)})}{ (1-x)^{n} } \\
= & \lim_{(x-1) \rightarrow 0} \frac{(1-x) [-\frac{1}{2} (x-1)] \cdots [-\frac{1}{n} (x-1)]}{(1-x)^{n}} \\
= & \lim_{(1-x) \rightarrow 0} \frac{(1-x) \frac{1}{2} (1-x) \cdots \frac{1}{n} (1-x)}{(1-x)^{n}} \\
= & \lim_{(1-x) \rightarrow 0} \frac{(1-x)^{n} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdots \frac{1}{n}}{(1-x)^{n}} = \frac{1}{n!}
\end{aligned}
$$

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