应用罗尔定理的特征:闭区间连续、开区间可导、端点值相等

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内可导,且 $f(1)=0$, 请证明 $\exists \xi \in(\mathbf{0}, \mathbf{1})$, 使 $\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ 成立.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

要证:

$$
\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)
$$

其实就是证:

$$
\xi f^{\prime}(\xi) + f(\xi) = 0
$$

又因为:

$$
\left( xf(x) \right)^{\prime} = xf(x) + f(x)
$$

因此,构造函数 $F(x)$ 为:

$$
F(x) = xf(x)
$$

又:

$$
\begin{cases}
F(0) = 0 \cdot f(0) = 0 \\
F(1) = 1 \cdot f(1) = 1 \cdot 0 = 0
\end{cases}

于是,根据罗尔定理可知,存在 $\xi \in (0, 1)$, 使得 $F^{\prime}(\xi) = 0$ 成立,即下式成立:

$$
\xi f^{\prime}(\xi) + f(\xi) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)
$$

综上可知,本题得证。


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