在选择题中求解伴随矩阵的两种常用方法

一、题目

矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & a \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & -a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & -a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -b c \\ 0 & a c & 0 \\ -a b & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -a b \\ 0 & a c & 0 \\ -b c & 0 & 0\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

方法一

首先，补充一个条件：矩阵 $A$ 可逆。

又：

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
$$

于是：

$$
\left[\begin{array}{cccccc}
0 & 0 & a & 1 & 0 & 0 \\
0 & b & 0 & 0 & 1 & 0 \\
c & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
\left[\begin{array}{llllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{c} \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{b} & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{a} & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

即：

$$
A^{-1}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 0 & \frac{1}{c} \\
0 & \frac{1}{b} & 0 \\
\frac{1}{a} & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$$
|A|=-a b c
$$

于是：

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & -a b \\
0 & -a c & 0 \\
-b c & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

方法二

$$
A^{*}=\left[\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 0 & A_{31} \\
0 & A_{22} & 0 \\
A_{13} & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

又：

$$
A_{31}=(-1)^{3+1} \cdot\left|\begin{array}{ll}0 & a \\ b & 0\end{array}\right|=-a b
$$

由上可知，A、C 选项错。

又：

$$
A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll}0 & a \\ c & 0\end{array}\right|=-a c
$$

由上可知，D 选项错。

综上可知，正确选项为 B.

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