注意啦：题目给出的是逆矩阵，但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 则 $|\boldsymbol{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

难度评级：

二、解析

错误的解法

$$
A_{11}+A_{12}+A_{13}=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right|=1
$$

如果题目给出的是 $\boldsymbol{A} = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 那么上面的说法就是正确的。

但是，题目给出的是 $\boldsymbol{A}^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right]$, 因此，不能用上面的解法。

正确的解法

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{*}=|A| \cdot A^{-1} } \Rightarrow
$$

$$
\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|}=4+1-2=3 \Rightarrow|A|=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
A^{*}=
$$

$$
\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
\textcolor{springgreen}{ \frac{1}{3} } & \frac{-1}{3} & \frac{1}{3} \\
\textcolor{springgreen}{ 0 } & \frac{2}{3} & \frac{-1}{3} \\
\textcolor{springgreen}{ \frac{1}{3} } & 0 & \frac{2}{3}
\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}
\textcolor{springgreen}{ A_{11} } & A_{21} & A_{31} \\
\textcolor{springgreen}{ A_{12} } & A_{22} & A_{32} \\
\textcolor{springgreen}{ A_{13} } & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right]
$$

于是：

$$
A_{11}=\frac{1}{3} \quad A_{12}=0 \quad A_{13} = \frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
A_{11}+A_{12} + A_{13}=\frac{2}{3}
$$

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