一阶导和二阶导的正负并不是判断一个点是否是极值点和拐点的根本办法

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点吗？$(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点吗？

难度评级：

二、解析

方法一：直接计算

虽然，$f(x)$ 的定义域是 $(-\infty,+\infty)$, 但是，如果我们只是为了研究 $x = 0$ 这一点处的情况，则可以只研究 $(-\infty,+\infty)$ 的一个子集，又：

$$
\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \in(-\infty,+\infty)
$$

因此，我们只研究 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的情况。

一阶导的正负如下：

$$
f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}
\sin x<0, & -\frac{\pi}{2}0, & 0<x<\frac{\pi}{2}
\end{array}\right.
$$

由于一阶导在 $x = 0$ 处经历了先小于零后大于零的变化，因此，$x = 0$ 是 $f(x)$ 的一个极小值点。

二阶导的正负如下：

$$
f^{\prime \prime}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\cos x>0, & -\frac{\pi}{2}<x<0 \\
-\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{2}} <0, & 0<x<\frac{\pi}{2}
\end{array}\right.
$$

由于二阶导在 $x = 0$ 处经历了先大于零（凹）后小于零（凸）的变化，因此，$x = 0$ 是 $f(x)$ 的一个拐点。

方法二：画图法

首先，将 $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ 上的 $y = \cos x$ 和 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上的 $y = \sqrt{x}$ 绘制出来：

之后，将 $y = \cos x$ 的函数图像关于 $X$ 轴对折之后再沿 $Y$ 轴向上移动 $2$ 个单位即得到 $y = 2 – \cos x$, 将 $y = \sqrt{x}$ 的函数图象沿 $Y$ 轴向上移动 $1$ 个单位之后即得到 $y = \sqrt{x} + 1$ 的函数图像：

据图 02 可知，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点。

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