都连续的函数复合出的函数一定连续

一、题目

以下函数 $f[g(x)]$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是哪个？

(A) $f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+1, & x>0 .\end{array}\right.$

(B) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0, \\ u^{2}+1, & u>0,\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$.

(C) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0, \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0,\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0, \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.\right.$.

(D) $f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0, \\ 0, & x=0, \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0 .\end{array}\right.$

难度评级：

二、解析

A 选项：

显然，$f(u)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 区间上连续。

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}\left[\sin ^{2} x+(x+1)^{2}\right]=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+1\right)=1
$$

因此，$g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也连续。

于是可知，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一定连续。

B 选项：

由于：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}(1-u)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(u^{2}+1\right)=1
$$

因此，$f(u)$ 和 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上都连续。

于是可知，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一定连续。

C 选项：

由于：

$$
x<0 \Rightarrow g(x)<0 \Rightarrow f[g(x)]=f(x)
$$

$$
x \geqslant 0 \Rightarrow g(x) \geqslant 0 \Rightarrow f[g(x)]=1-\cos \sqrt{x+\frac{\pi^{2}}{4}}
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{x} \sin \frac{1}{x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x^{2}}{x} \sin \frac{1}{x} = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} -x \sin \frac{1}{x}=0
$$

且：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1-\cos \sqrt{x+\frac{\pi^{2}}{4}}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} （1-\cos \frac{\pi}{2} ）=1-0=1
$$

因此，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $x = 0$ 处存在第一类跳跃间断点，没有第二类无穷间断点。

D 选项：

由于：

$$
x<0 \Rightarrow f[g(x)]=e^{\frac{1}{x^{2}}}+1
$$

$$
x>0 \Rightarrow f[g(x)] = e^{\sin ^{2} \frac{1}{x}}+1
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}\left(e^{\frac{1}{x^{2}}}+1\right)=+\infty
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{\sin ^{2} \frac{1}{x}}+1\right) \Rightarrow \text { 有界振荡 }
$$

因此，复合函数 $f[g(x)]$ 在 $x = 0$ 处存在第二类无穷间断点。

综上，本题正确选项为：D

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