抛物线的常用性质汇总

一、前言

在考研数学中，有时候会用到抛物线的性质，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）对常用的抛物线的性质做了一个汇总。

二、正文

如果以 $\mathrm{p}$（其中 $p>0$）为焦准距，则抛物线的标准方程有四个：

$y^2=2px$ $$ 开口向右
$y^2=-2px$ $$ 开口向左
$x^2=2py$ $$ 开口向上
$x^2=-2py$ $$ 开口向下

如果 $c$ 为焦点到顶点之间距离的绝对值（$c>0$），则：

在抛物线 $y^2=4cx$ 中, 焦点是 $F(c,0)$, 准线 $l$ 的方程是 $x=-c$（如图 01）
在抛物线 $y^2=-4cx$ 中, 焦点是 $F(-c,0)$, 准线 $l$ 的方程是 $x=c$（如图 02）
在抛物线 $x^2=4cy$ 中, 焦点是 $F(0,c)$, 准线 $l$ 的方程是 $y=-c$（如图 03）
在抛物线 $x^2=-4cy$ 中, 焦点是 $F(0,-c)$, 准线 $l$ 的方程是 $y=c$（如图 04）

当然，除了上面这些标准的抛物线方程，我们还有一些特殊的抛物线方程，例如，$y^2=x–2$ 也是一个抛物线方程，其可看做是由抛物线 $y^2=x$ 根据“左加右减，下加上减”的原则平移得到的（蓝色曲线为 $y^2=x–2$, 橙色曲线为 $y^2=x$）：

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