用一个一阶线性微分方程构造另一个一阶线性微分方程

一、题目

已知 $P(x), Q(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，函数 $y=y(x)$ 是 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=Q(x)$ 的解，则 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充要条件吗？

难度评级：

二、解析

1. 检查必要性

很明显，若 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期，则一定有：

$$
y(0)=y(T)
$$

因此，必要性条件满足。

2. 检查充分性

首先，令：

$$
\textcolor{orange}{
K(x)=y(x+T)-y(x) \tag{1}
}
$$

则若在 $y(0)=y(T)$ 的前提下，有：

$$
\textcolor{green}{
K(x) \equiv 0
}
$$

就能说明 $y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充分条件，否则就不是。

为了求出 $K(x)$ 的表达式，我们需要构造出 $K^{\prime}(x)$, 这样才能利用一阶线性微分方程方程的求解公式计算出 $K(x)$:

Tips:

一阶线性微分方程 $y^{\prime} + p(x) y = q(x)$ 的求解公式为：$y = [\int q(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C] \cdot e^{- \int p(x) \mathrm{~ d} x}$

对 $(1)$ 式左右两边同时求导，可得：

$$
\textcolor{orange}{
K^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{~ d} K(x)}{\mathrm{~ d} x}=y^{\prime}(x+T)-y^{\prime}(x) \tag{2}
}
$$

又由题可知：

$$
\frac{\mathrm{~ d} y}{\mathrm{~ d} x}+P(x) y=Q(x) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}(x)+P(x) y(x)=Q(x) \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}(x)=Q(x)-P(x) y(x) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
y^{\prime}(x+T)=Q(x+T)-P(x+T) y(x+T) \tag{3}
}
$$

将 $(3)$ 式代入 $(2)$ 式可得：

$$
\textcolor{orange}{
K^{\prime}(x)=
}
$$

$$
\textcolor{orange}{
Q(x+T)-P(x+T) y(x+T)-Q(x)+ P(x) y(x)=P(x)
}
$$

又由于 $Q(x)$ 和 $P(x)$ 以 $T$ 为周期，因此：

$$
K^{\prime}(x)=Q(x)-P(x) y(x+T)-Q(x)+P(x) y(x) \Rightarrow
$$

$$
K^{\prime}(x)=P(x)[y(x)-y(x+T)] \Rightarrow
$$

$$
K^{\prime}(x)+P(x)[y(x+T)-y(x)]=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
K^{\prime}(x)+P(x) \cdot K(x)=0 } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
K(x)=\left[\int 0 \cdot e^{\int p(x) \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x+C \right] e^{-\int p(x) \mathrm{~ d} x} } \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
K(x)=C e^{-\int p(x) \mathrm{~ d} x}
}
$$

又：

$$
\textcolor{orange}{ K(0) } = y(0+T)-y(0) = y(T)-y(0) = \textcolor{orange}{0}
$$

因此：

$$
C=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{green}{
K(x) \equiv 0
}
$$

综上可知，$y(0)=y(T)$ 是 $y=y(x)$ 以 $T$ 为周期的充分必要条件。

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