发散的反常积分不能比较大小：不能确定是否收敛的反常积分也不能比较大小

一、题目

已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内连续，且 $f(x)<g(x)$, 则当 $x\ne 0$ 时，下面的说法中错误的是哪个或哪些？

[1]. ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$

[2]. ${\int }_0^{x^2}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}g(t)\mathrm{d}t$

[3]. ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x<{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$

[4]. ${\int }_0^{x^2}|f(t)|\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}|g(t)|\mathrm{d}t$

难度评级：

二、解析

[1]

当 $x>0$ 时，${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$ 成立，但是，当 $x<0$ 时，${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$ 并不成立，由于积分上限不一定大于积分下限。

因此，该说法不一定正确。

[2]

由于当 $x\ne 0$ 时，一定有 $x^2>0$, 又 $f(x)<g(x)$, 因此一定有 ${\int }_0^{x^2}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}g(t)\mathrm{d}t$ 成立。

因此，该说法一定正确。

[3]

由于不能确定 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 和 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 是否都收敛，而不收敛的反常积分是不能比较大小的（因为不知道发散的程度）。

因此，${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x<{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}g(x)\mathrm{d}x$ 不一定成立。

[4]

当 $f(x)<g(x)$ 时，不一定有 $|f(x)|<|g(x)|$, 因此，${\int }_0^{x^2}|f(t)|\mathrm{d}t<{\int }_0^{x^2}|g(t)|\mathrm{d}t$ 不一定成立。

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