判断一阶导的零点用 1 次罗尔定理，判断二阶导的零点用 2 次罗尔定理

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数, $f(2)=0$, $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$, 请判断 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点情况。

难度评级：

二、解析

$$
F(x)=(x-1)^{2} f(x) \Rightarrow
$$

$$
F(1)=(1-1)^{2} f(1)=0
$$

$$
F(2)=(2-1)^{2} f(2)=f(2)=0 \Rightarrow
$$

根据罗尔定理：

$$
\exists \ \xi_{1} \in(1,2) \Rightarrow F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0
$$

又：

$$
F^{\prime}(x)=2(x-1) f(x)+(x-1)^{2} f^{\prime}(x) \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}(1)=0+0=0 \quad F^{\prime}(2)=2 f(2)+f^{\prime}(2)=f^{\prime}(2)
$$

根据罗尔定理：

$$
\xi \in\left(1, \xi_{1}\right) \Rightarrow F^{\prime \prime}(\xi)=0
$$

于是可知，$F^{\prime}(x)$ 至少有一个零点——

如果 $f^{\prime}(2) = 0$, 则还会存在另一个零点。

因此，函数 $F^{\prime}(x)$ 至少存在一个零点，或者说必有零点。

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