真真假假，眼花缭乱：你知道哪一个条件和二元函数可微有关系吗？

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，则下列命题正确的是哪个？

(A) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(B) 若极限 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微

(C) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在

(D) 若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在

难度评级：

二、解析

Tips:

本文要用到的相关基础知识可以查看：《判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！》

方法一：直接判断

本文正确选项为 (A), 原因如下：

由于：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}} \text { 存在 }
$$

且：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0
$$

因此：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} f(x, y)=0
$$

又因为 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，因此：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)=0
$$

接着：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \cdot \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$

又：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\infty
$$

所以一定有：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\
y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0 \tag{1}
$$

即 $f(x, y)$ 是 $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 的高阶无穷小。

(1) 式也可以写成如下形式：

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\
\Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}=0
$$

因此，有：

$$
f(x, y)=0 \cdot \Delta x+0 \cdot \Delta y + o(\varphi)
$$

综上可知，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

方法二：举反例

对于 (B) 选项，可令：

$$
f(x, y)=|x|+|y|
$$

则可知，满足 “$\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在” 这一条件，但是：

$$
f(x, 0)=|x| \Rightarrow f_{x}^{\prime}(0,0) \Rightarrow \text{不存在}
$$

对于 (C), (D) 选项，可令：

$$
f(x, y) \equiv 1
$$

则可知，函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点处可微，但是：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}=\infty \Rightarrow \text{不存在}
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}=\infty \Rightarrow \text{不存在}
$$

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