二元函数偏导数的连续性可以被直接证明吗？当然可以！

一、题目

已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在吗？偏导数连续吗？可微吗？

难度评级：

二、解析

一、证明偏导数存在

首先，我们来证明函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在：

函数在一点处连续，该点处可导的前提，在本题中，很显然 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是连续的：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left(x^{2}-y^{2}\right)=0-0=0.
$$

Tips:

求解二元函数 $K(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $K^{\prime}_{x}$ 时，先把 $y = y_{0}$ 代入，之后的步骤就和一元函数求导一样。

类似的，求解偏导数 $K^{\prime}_{y}$ 前，也是先把 $x = x_{0}$ 代入 $K(x, y)$ 的表达式。

求偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 的表达式时，可以令 $y = 0$, 则：

$$
f(x, 0)=x^{2} \Rightarrow f_{x}^{\prime}(x, 0)=2x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{green}{
f_{x}^{\prime}(0,0)=0
}
$$

同样的，求偏导数 $f^{\prime}_{y}$ 的表达式时，可以令 $x = 0$, 则：

$$
f(0, y)=-y^{2} \Rightarrow f_{y}^{\prime}(0, y)=-2y \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{green}{
f_{y}^{\prime}(0,0)=0
}
$$

由于 $f_{x}^{\prime}(x, 0)$ $f_{y}^{\prime}(0, y)$ 都是可导的，$x$ 和 $y$ 在点 $(0,0)$ 处也有定义，因此，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在。

二、证明偏导数连续（即可微）

接下来，我们开始证明偏导数在点 $(0, 0)$ 处连续。

首先，求解出当 $x^{2}+y^{2} \neq 0$ 时的偏导数表达式：

$$
f_{x}^{\prime}=\frac{4 x^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{4}-y^{4}\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
$$

$$
f_{y}^{\prime}=\frac{-4 y^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{4}-y^{4}\right) \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}
$$

但是，由于二元函数的偏导数中存在两个变量，有无数条趋近于某点的路径，因此，我们没办法直接证明偏导数连续——我们需要借助放缩的原理，对当 $x^{2} + y^{2} \neq 0$ 时的偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和 $f^{\prime}_{y}$ 进行化简：

$$
f_{x}^{\prime}=\frac{4 x^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{4}-y^{4}\right) \cdot 2 x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=
$$

$$
\frac{4 x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{2 x\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
f_{x}^{\prime}=4 x \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}-2 x \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+2 x \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
}
$$

$$
f^{\prime} _{y} = \frac{-4 y^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\left(x^{4}-y^{4}\right) \cdot 2 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=
$$

$$
-4 y \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\frac{\left(x^{2}-y^{2}\right) \cdot 2 y}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
f^{\prime} _{y} = -4 y \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-2 y \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+2 y \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
}
$$

又由于：

$$
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1, \quad \frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 1
$$

因此：

$$
\textcolor{yellow}{
\left|f_{x}^{\prime}\right| \leqslant 4|x|+2|x|+2|x|=8|x| \rightarrow 0
}
$$

$$
\textcolor{yellow}{
\left|f_{y}^{\prime}\right| \leqslant 4|y|+2|y|+2|y|=8|y| \rightarrow 0
}
$$

于是：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{x}^{\prime}=0 \quad \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{y}^{\prime}=0
$$

进而可知，偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和 $f^{\prime}_{y}$ 在点 $(0,0)$ 附近的极限值等于该点处的函数值，即：

$$
\textcolor{red}{
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)=0
}
$$

$$
\textcolor{red}{
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)=0
}
$$

于是，偏导数 $f^{\prime}_{x}$ 和 $f^{\prime}_{y}$ 在点 $(0,0)$ 处连续，因此，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微。

综上可知，函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处偏导数存在且可微。

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