不同函数一阶导之间的大小与这个这些函数原函数之间的大小没有任何关系

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 上可导,则以下论述正确的是哪个?

(1) 若 $f(x)>g(x)$, 则 $f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$;

(2) 若 $f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x)$ 则 $f(x)>g(x)$.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法一:画图法

如下图(图 01)所示,$f(x) > g(x)$, 但是 $f^{\prime}(x) < 0$, $g^{\prime}(x) > 0$, 所以 $f^{\prime}(x) < g^{\prime}(x)$:

不同函数一阶导之间的大小与这个这些函数原函数之间的大小没有任何关系 | 荒原之梦
图 01.

如下图(图 02)所示,$f(x)$ 的增长率大于 $g(x)$, 所以 $f^{\prime}(x) > g^{\prime}(x)$, 但是,$g(x) > f(x)$:

不同函数一阶导之间的大小与这个这些函数原函数之间的大小没有任何关系 | 荒原之梦
图 02.

综上,论述 (1) 和 (2) 都不对。

解法二:反例法(特例)

对于第 (1) 个论述:

$$
f(x)=e^{-x}, \quad g(x)=-e^{-x} \Rightarrow
$$

$$
f(x)>g(x)
$$

$$
f^{\prime}(x)=-e^{-x}, \quad g^{\prime}(x)=e^{-x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)<g^{\prime}(x)
$$

对于第 (2) 个论述:

$$
f(x)=-e^{-x} \quad g(x)=e^{-x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=e^{-x} \quad g^{\prime}(x)=-e^{-x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), \quad f(x)<g(x)
$$

综上,论述 (1) 和 (2) 都不对。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress