你还记得柯西中值定理吗？

一、题目

已知 $f(x)=x^{3}$, $g(x)=x^{2}$, $a=0, b=1$, 则在柯西中值定理中, $\xi=?$

难度评级：

二、解析

已知，柯西中值定理如下：

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}
$$

于是：

$$
\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} \Rightarrow
$$

$$
1=\frac{3 \xi^{2}}{2 \xi}=\frac{3}{2} \xi \Rightarrow
$$

$$
\xi=\frac{2}{3}
$$

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