这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的

一、题目

$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = ?
$$

其中 $a<x<b$.

难度评级：

二、解析

解法一：凑微分

已知：

$$
I=\int \frac{\mathrm{~ d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}
$$

又：

$$
\left[(x-a)^{\frac{1}{2}}\right]^{\prime} = \frac{1}{2}(x-a)^{\frac{-1}{2}}
$$

于是：

$$
I=\int \frac{1}{\sqrt{x-a} \cdot \sqrt{b-x}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
2 \int \frac{1}{\sqrt{b-x}} \mathrm{~ d} (\sqrt{x-a})=
$$

接着，我们需要在分母中也凑出来 “$x – a$”:

$$
2 \int \frac{1}{\sqrt{(b-a)-(x-a)}} \mathrm{~ d} (\sqrt{x-a})=
$$

$$
2 \int \frac{1}{\sqrt{(\sqrt{b-a})^{2}-(\sqrt{x-a})^{2}}} \mathrm{~ d} (\sqrt{x-a})=
$$

$$
2 \int \frac{1}{\sqrt{b-a} \cdot \sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} (\sqrt{x-a})=
$$

Tips:

这里需要注意，$b-a>0$, 且 $b-a$ 是一个常数。

$$
2 \int \frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)^{2}}} \mathrm{~d} \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)=
$$

$$
2 \arcsin \left(\sqrt{\frac{x-a}{b-a}}\right)+C
$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法二：配方法

首先对分母进行配方：

$$
(x-a)(b-x)=
$$

$$
-x^{2}+(a+b) x-a b=
$$

$$
-\left[x^{2}-(a+b) x+a b\right]=
$$

$$
-\left[\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2}+a b\right]=
$$

$$
-\left[\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+2 a b-4 a b}{4}\right]=
$$

$$
-\left[\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\right]=
$$

$$
\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}
$$

于是：

$$
I=\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
I=\int \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}-\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
I=\int \frac{1}{\frac{b-a}{2} \sqrt{1-\left(\frac{x-\frac{a+b}{2}}{\frac{b-a}{2}}\right)^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
I=\int \frac{\frac{2}{b-a}}{\sqrt{1-\left[\frac{2 x-(a+b)}{b-a}\right]^{2}}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

又：

$$
\left[\frac{2 x-(a+b)}{b-a}\right]_{x}^{\prime}=\left[\frac{1}{b-a}(2 x-a-b)\right]_{x}^{\prime}=
$$

$$
\frac{2}{b-a} \Rightarrow
$$

于是：

$$
I=\int \frac{1}{\sqrt{1-\left[\frac{2 x-(a+b)}{b-a}\right]^{2}}} \mathrm{~ d} \left[\frac{2 x-(a+b)}{b-a}\right]=
$$

$$
\arcsin \left[\frac{2 x-(a+b)}{b-a} \right] + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法三：整体代换

Tips:

对于含有根号的式子而言，整体代换法的主要目的就是把含有根号的部分用一个变量整体代换，使得根号可以在我们的计算过程中消失。

$$
I=\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
I=\int \frac{1}{(x-a)} \cdot \sqrt{\frac{x-a}{b-x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

令：

$$
t=\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}
$$

则：

$$
t^{2}=\frac{x-a}{b-x} \Rightarrow
$$

$$
t^{2}(b-x)=x-a \Rightarrow t^{2} b-x t^{2}=x-a \Rightarrow
$$

$$
t^{2} b+a=x+x t^{2} \Rightarrow x=\frac{t^{2} b+a}{1+t^{2}}
$$

又：

$$
x-a=\frac{t^{2} b+a-a\left(1+t^{2}\right)}{1+t^{2}} \Rightarrow
$$

$$
x-a=\frac{t^{2} b-t^{2} a}{1+t^{2}} \Rightarrow
$$

$$
x-a=\frac{t^{2}(b-a)}{1+t^{2}}
$$

且：

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{2 b t\left(1+t^{2}\right) 2 t\left(t^{2} b+a\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{2 b t+2 b t^{3}-2 b t^{3}-2 a t}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} x=\frac{2 t(b-a)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

于是：

$$
I=\int \frac{t\left(1+t^{2}\right)}{t^{2}(b-a)} \cdot \frac{2 t(b-a)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1+t^{2}}{t(b-a)} \cdot \frac{2 t(b-a)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
2 \arcsin t + C=2 \arcsin \sqrt{\frac{x-a}{b-x}}+C
$$

其中，$C$ 为任意常数。

---