给根号换个形式：不去根号胜去根号

一、题目

$$
\int \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

解法 1：将根号写成次幂的形式

$$
\int \frac{\textcolor{orange}{\sqrt{x + 1} } + 2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{\textcolor{orange}{ (x + 1)^{\frac{1}{2}} } }{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x + \int \frac{2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int (x + 1)^{\frac{-3}{2}} \mathrm{d} x – 2 \int \mathrm{d} \Big( \frac{1}{x + 1} \Big) =
$$

Next

$\int \mathrm{d} \triangle = \triangle$.

$$
-2 (x + 1)^{\frac{-1}{2}} – \frac{2}{x + 1} + C =
$$

$$
\frac{-2}{\sqrt{x + 1}} – \frac{2}{x + 1} + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

解法 2：整体代换

遇到带有根号的被积函数，如果不知道怎么去根号，就可以使用将根式部分整体代换这个“万能方法”，使用了类似解题思路的还有《两种方法去根号：分子有理化或整体代换》这道题。

$$
\int \frac{\textcolor{white}{\sqrt{x + 1} } + 2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

令 $\textcolor{white}{ t = \sqrt{x + 1} }$, 则：

$$
t^{2} = x + 1 \Rightarrow
$$

$$
x = t^{2} – 1 \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} x = 2t \mathrm{d} t.
$$

Next

于是：

$$
\int \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{(x + 1)^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{t (t + 2)}{t^{4}} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 \int \frac{t^{2} + 2t}{t^{4}} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 \int \frac{t^{2}}{t^{4}} \mathrm{d} t + 2 \int \frac{2t}{t^{4}} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 \int \frac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t + 4 \int \frac{1}{t^{3}} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 \int t^{-2} \mathrm{d} t + 4 \int t^{-3} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 (\frac{1}{-2 + 1}) t^{-2 + 1} + 4 (\frac{1}{-3 + 1}) t^{-3 + 1} + C =
$$

$$
-2 t^{-1} – 2 t^{-2} + C =
$$

$$
\frac{-2}{t} – \frac{2}{t^{2}} + C \Rightarrow
$$

Next

令 $t = \sqrt{x + 1}$ $\Rightarrow$

$$
\frac{-2}{\sqrt{x + 1}} – \frac{2}{x + 1} + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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