如果分式的极限存在，则一定是“0/0”型或者“无穷/无穷”型

一、题目

若 $I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\mathrm{e}^{x^{2}}-a}(\cos x-b)=A$, 则，$a = ?$, $b = ?$, $A = ?$

难度评级：

二、解析

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \sin x=0 \Rightarrow A 存在 \Rightarrow \frac{0}{0} 型 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} ( e^{x^{2}}-a )=0 \Rightarrow a=1
$$

于是：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x(\cos x-b)}{x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-b}{x} \Rightarrow \frac{0}{0} 型 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(\cos x-b)=0 \Rightarrow b=1 \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{-1}{2} x\right)=0 \Rightarrow A = 0.
$$

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