正定二次型的各阶顺序主子式的值都大于零

一、题目

若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $a x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $a$ 的取值范围是多少？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
A = \left[\begin{array}{lll}a & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right]
$$

Tips:

顺序主子式是从矩阵的第一行第一列（左上角第一个元素）开始的。

于是：

一阶顺序主子式：

$$
a>0
$$

二阶顺序主子式：

$$
\left|\begin{array}{ll}a & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right|>0 \Rightarrow 4 a-9>0 \Rightarrow
$$

$$
4 a>9 \Rightarrow a>\frac{9}{4}.
$$

三阶顺序主子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}a & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & a\end{array}\right|>0 \Rightarrow
$$

$$
4 a^{2}-10 a>0 \Rightarrow
$$

$$
a>0 \Rightarrow 4 a-10>0 \Rightarrow a>\frac{5}{2}.
$$

又：

$$
\frac{5}{2} > \frac{9}{4} > 0
$$

于是：

$$
a > \frac{5}{2}.
$$

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