常数乘在矩阵的左边或者右边效果一样

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$, 且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}$, 则 $\boldsymbol{B}=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
B A=A+2 B \Rightarrow B A-2 B=A \Rightarrow
$$

$$
B A-B \times 2=A \Rightarrow
$$

$$
B(A-2 E)=A \Rightarrow
$$

$$
B=A(A-2 E)^{-1}
$$

又：

$$
A-2 E=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

且：

$$
\left[\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
(A-2 E)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

于是：

$$
B=A(A-2 E)^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]
$$

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