集火攻击：多种方法解一道题

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

方法 1

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}}=
$$

加减凑项：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{x}+3^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{x}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}}=
$$

应用《拉格朗日中值定理》：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left[3\left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)\right]^{x}-3^{x}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3^{\xi}\right)^{\prime}(x-\sin x)}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}\left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)^{x}-3^{x}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3^{\xi} \ln 3(x-\sin x)}{x^{3}}
$$

$3^{x}$ $=$ $3^{\xi}$ $=$ $1$, 可以直接写成常数或舍去：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)^{x}-1}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln 3(x-\sin x)}{x^{3}}=
$$

利用《等价无穷小公式》：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x \sin x^{2}}{3}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln 3 \cdot \frac{1}{6} x^{3}}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x^{3}}+\frac{1}{6} \ln 3=\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \ln 3.
$$

方法 2

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-e^{\sin x \ln 3}}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left[e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-1\right]-\left[e^{\sin x \ln ^{3}}-1\right]}{x^{3}}=
$$

利用等价无穷小公式替换：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3}{x^{3}}=
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(3+\sin x^{2}\right)+x \frac{2 x \cos x^{2}}{3+\sin x^{2}}-\cos x \ln 3}{3 x^{2}}=
$$

拆分：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\frac{\ln \left(3+\sin x^{2}\right)}{3 x^{2}}+\frac{2 x^{2} \cos x^{2}}{3 x^{2}\left(3+\sin x^{2}\right)}-\frac{\cos x \ln 3}{3 x^{2}}\right]=
$$

继续洛必达运算或者化简：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\frac{\frac{2 x \cos x^{2}}{3+\sin x^{2}}}{6 x}+\frac{2}{3\left(3+\sin x^{2}\right)}-\frac{-\sin x \ln 3}{6 x}\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left[\frac{2}{18}+\frac{2}{9}+\frac{1}{6} \ln 3\right]=\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \ln 3.
$$

方法 3

对于方法 2 中得到的 $e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-e^{\sin x \ln 3}$ 这个式子，我们还有另一个计算方法：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} [e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-e^{\sin x \ln 3} ]=
$$

拉格朗日中值定理：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\xi}\left[x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3\right] \Rightarrow
$$

其中，$\xi$ $\in$ $\left(x \ln \left(3+\sin x^{2}, \sin x \ln 3\right)\right.$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} [x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3].
$$

方法 4

对于方法 2 中得到的 $e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-e^{\sin x \ln 3}$ 这个式子，我们还有另一个计算方法：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} [e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)}-e^{\sin x \ln 3} ]=
$$

提取公因式：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\sin x \ln 3}\left[e^{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3}-1\right]=
$$

等价无穷小代换：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\sin x \ln 3}\left[x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3\right]=
$$

$\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\sin x \ln 3}$ $=$ $1$ $\Rightarrow$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \ln \left(3+\sin x^{2}-\sin x \ln 3\right).
$$

方法 5

对于前面的方法中得到的 $x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3$ 这个式子，我们还有如下求解方法：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3}{x^{3}}=
$$

等价无穷小或者泰勒公式代换：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} (x-\sin x \sim \frac{1}{6} x^{3} ) \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} (\sin x \sim x-\frac{1}{6} x^{3} ) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\left(x-\frac{1}{6} x^{3}\right) \ln 3}{x^{3}} \Rightarrow
$$

其中：

$$
\ln \left(3+\sin x^{2}\right)=\ln \left[3\left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)\right]=
$$

$$
\ln 3+\ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right).
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln 3+x \ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)-x \ln 3+\frac{x^{3}}{6} \ln 3}{x^{3}}=
$$

拆分：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{3}}{6} \ln 3}{x^{3}}=
$$

等价无穷小代换和化简：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x \sin x^{2}}{3}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{6 x^{3}} \ln 3=
$$

$$
\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \ln 3.
$$

方法 6

对于前面的方法中得到的 $x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3$ 这个式子，我还有如下求解方法：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(3+\sin x^{2}\right)-\sin x \ln 3}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x\left[\ln 3\left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)\right]-\sin x \ln 3}{x^{3}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln 3+x \ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)-\sin x \ln 3}{x^{3}}=
$$

拼凑：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)+(x \ln 3-\sin x \ln 3)}{x^{3}}=
$$

拆分：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \ln \left(1+\frac{\sin x^{2}}{3}\right)}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \ln 3 \cdot \frac{x-\sin x}{x^{3}} =
$$

等价无穷小代换：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot \frac{x^{2}}{3}}{x^{3}}+\lim \limits_{x \rightarrow 0} \ln 3 \cdot \frac{\frac{1}{6} x^{3}}{x^{3}}=
$$

$$
\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \ln 3.
$$

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