当被积函数含有 e 时考虑凑微分，做了变量替换不要忘记更新积分上下限

一、题目

已知，积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成的，则：

$$
I = \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = ?
$$

二、解析

根据题目所给条件，我们可以绘制出如下积分区域（阴影部分）：

但是，如果我们先对 $y$ 求积分，再对 $x$ 求积分，就会比较复杂：

$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y
$$

所以，我们要调整以下积分次序：

$$
\int_{0}^{1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y^{2}} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} e^{-y^{2}}\left(\left.2 x^{\frac{1}{2}}\right|_{0} ^{y^{2}}\right) \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} 2 y e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$

$$
(-1) \int_{0}^{-1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} \left(-y^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
(-1) \int_{0}^{-1} e^{t} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
(-1) \left.e^{t}\right|_{0} ^{-1}=-\left(e^{-1}-e^{0}\right)=1-\frac{1}{e}.
$$

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